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1、2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义时域离散信号傅里叶变换的定义序列x（n）的傅里叶变换定义为（2.2.1）第2章时域离散信号和系统的频域分析p（t）tT理想抽样（）第2章时域离散信号和系统的频域分析（）p（t）第2章时域离散信号和系统的频域分析DTFTijr=1P34 式（2.2.5）P46 图（2.4.1）P24 图（1.5.3）c）第2章时域离散信号和系统的频域分析数字频率归一化频率Fs=1000Hz,则100Hz对应0.2Fs=2000Hz,则100Hz对应0.1第2章时域离散信号和系统的频域分析FT为Fourier Transform的缩写。FTx（n）存在的充分必要条件是序列x（

2、n）满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2）X（ej）的傅里叶反变换为（2.2.3）离散时间傅里叶变换正变换为DTFT离散频率傅里叶变换DFFT?第2章时域离散信号和系统的频域分析【例例2.2.1】设x（n）=RN（n），求x（n）的傅里叶变换。解解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.1R4（n）的幅度与相位曲线 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：（2.2.5）观察上式

3、，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。为整数第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.2.2cosm 的波形第2章时域离散信号和系统的频域分析2 线性线性设X1（ej）=FTx1（n）,X2（ej）=FTx2（n）,那么（2.2.6）式中,a，b是常数。第2章时域离散信号和系统的频域分析3时移与频移时移与频移设X（ej）=FTx（n）,那么（2.2.7）（2.2.8）第2章时域离散信号和系统的频域分析4 FT的对称性的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe（n）满足下式：（2.2.9）则称xe（n）为共轭

4、对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe（n）用其实部与虚部表示：e-eveno-oddr-reali-image第2章时域离散信号和系统的频域分析将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）第2章时域离散信号和系统的频域分析上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：（2.2.12）将xo（n）表示成实部与虚部，如下式：即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第2章时域离散信号和系统的频域分析 5 时域卷积定理时域卷积定理设 y（n）=x（n）*h（n）则 Y（

5、ej）=X（ej）H（ej）（2.2.31）证明证明第2章时域离散信号和系统的频域分析令k=nm，则第2章时域离散信号和系统的频域分析6 频域卷积定理频域卷积定理设y（n）=x（n）h（n）则（2.2.32）证明证明（2.2.33）第2章时域离散信号和系统的频域分析交换积分与求和的次序，得到：（2.2.34）该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。第2章时域离散信号和系统的频域分析7 帕斯维尔（帕斯维尔（Parseval）定理）定理（2.2.35）证明证明 第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 第2章时域离散信号和系统的频域分析tDFTT第2章

6、时域离散信号和系统的频域分析例2 设计一如图数字低通滤波器求单位冲击响应 第2章时域离散信号和系统的频域分析设fs=2000Hz则截止频率fc=?第2章时域离散信号和系统的频域分析傅氏变换一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换00t第2章时域离散信号和系统的频域分析离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换DTFTDTFT1.正变换:2.反变换:离散频率离散频率傅里叶变换傅里叶变换DFFTDFFT0t-00-0第2章时域离散信号和系统的频域分析时域离散化频域离散化一个周期内抽样N个点扩展到整个频域P75 式3.1.1-2P40 式2.3.1P41 式2.3.3第2章时域离散信号和系统的频域分析D

7、TFTDFSDFT共轭/周期特性 FFT分析系统周期离散理解方式1理解方式2第2章时域离散信号和系统的频域分析采样间隔T0sT0信号的周期0信号的角频率Ts采样间隔时域s频谱的周期0采样间隔频域频率分辨率第2章时域离散信号和系统的频域分析0,1,.,N-1含义01N-12数字频率：采样频率：采样角频率：信号角频率：第2章时域离散信号和系统的频域分析2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式变换表示式因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数（），其FT可以用公式表示出来。第

8、2章时域离散信号和系统的频域分析2.3.1周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:（2.3.1）为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即第2章时域离散信号和系统的频域分析式中（2.3.2）第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.3.2）式的证明作为练习请读者自己证明。因此（2.3.3）式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。第2章时域离散信号和系统的频域分析令 ,并将（2.3.3）式代入，得到:（2.3.4）式中，也是以N为周期的周期序列,称

9、为 的离散傅里叶级数系数，用DFS（Discrete Fourier Series）表示。第2章时域离散信号和系统的频域分析用（2.3.5）将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下：（2.3.6）（2.3.7）代替（2.3.1）式中的ak,得到第2章时域离散信号和系统的频域分析（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=（2/N）k,k=0,1,2,N1,幅度为。基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例例2.3.1】设x（n）=R4（n），将x（n）以N=8为周期进行周期

10、延拓，得到如图2.3.1（a）所示的周期序列，周期为8，求DFS。解解按照（2.3.6）式,有第2章时域离散信号和系统的频域分析其幅度特性如图2.3.1（b）所示。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.1例2.3.1图 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即（2.3.8）对于时域离散信号，2/0为有理数，暂时假定其FT的形式与（2.3.8）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为2。但由于n取整数，下式成立：第2章时域离散信号和系统的频域分析r取整数因此 的FT为

11、（2.3.9）（2.3.9）式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边第2章时域离散信号和系统的频域分析观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数（0），等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.2的FT 第2章时域离散信号和系统的频域分析对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为因此

12、的FT如下式：第2章时域离散信号和系统的频域分析式中，k=0,1,2,N1。如果让k在区间变化，上式可简化成（2.3.10）式中（2.3.10）式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的（）表示单位冲激函数，而（n）表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同,因而不会引起混淆。表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。第2章时域离散信号和系统的频域分析表2.3.2基本序列的傅里叶变换 第2章时域离散信号和系统的频域分析表中u（n）序列的傅里叶变换推导如下：令（2.3.11）（2.3.12）对（2.3.12）式进行FT，得到:第2章时域离散信号和系统的频域分析对（2.3.11）式

13、进行FT，得到：【例例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解解将例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：其幅频特性如图2.3.3所示。第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.3.3例2.3.2图第2章时域离散信号和系统的频域分析对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。【例例2.3.3】令为有理数，求其FT。解解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：第2章时域离散信号和系统的频域分析（

14、2.3.13）（2.3.13）式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。第2章时域离散信号和系统的频域分析 图2.3.4cos0n的FT 第2章时域离散信号和系统的频域分析2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式x（n）=xa（t）|t=nT=xa（nT）表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:第2章时域离散信号和系统的频域分析对上式进行傅里叶变换,得到:第2章时域离散信号和系统的频域分析令=T，且x（n）=xa（nT），得到：（2.4.1）或者写成：（2.4.2）式中（2.4.2）式也可以表示成（2.4.3）第2章时域离散信号和系统的频域分析图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系第2章时域离散信号和系统的频域分析DTFTFT拉氏变换能否 离散化?第2章时域离散信号和系统的频域分析第2章时域离散信号和系统的频域分析拉氏变换序列