“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT格式课件下载.ppt

1、点？计算计算（a+b）n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n（a+b）n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111（a+b）1（a+b）2（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?对称性对称性每行两端都是每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1以外的每一个

2、数都等于以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1（a+b）1（a+b）2（a+b）3（a+b）4（a+b）5（a+b）6+详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可

3、直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，练习：练习：1、在、在（ab）展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是（）A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8增减性与最大值增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定二项式系数的性质二项式系数的性质由由：即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增

4、大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。可知，当可知，当 时，时，因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质1.在在（1+x）10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ；在在（1-x）11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .3.在

5、二项式在二项式（x-1）11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。最大的系数呢？练习练习2.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解:第第8、9项的二项式系数项的二项式系数即即6435最大。最大。变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？解各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：同时由于同时由于

6、，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质例例 证明在证明在（a+b）n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：赋值法赋值法证明：证明：例题例题 2.求证：求证：倒序倒序相加法相加法（1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质（2）数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性；b 图象；图象；c 最值。最值。小结小结求奇数求奇数（次次）项偶数项偶数（次次）项系数的和项系数的和（1）（1）（2）（2）

7、求奇数求奇数（次次）项偶数项偶数（次次）项系数的和项系数的和所以（3）例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项（系数系数）例例2.2.的展开式中的展开式中,的系数等于的系数等于_解解:仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是 例例 3:3:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是由

8、题意知解得所以所以 的系数为的系数为:例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算求展开式中系数最大求展开式中系数最大（小小）的项的项解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例例 5 5 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第

9、项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评三项式转化为二项式三项式转化为二项式解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得=1107=1107_解：解：原式化为其通项公式为其通项公式为240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.问问题题探探究究:（1）（1）今天是星期五，那么

10、今天是星期五，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢?（星期五）（星期五）（2）（2）如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？（星期六）（星期六）（3）（3）如果是如果是24天后的这一天呢？（星期一）（星期一）（4）（4）如果是如果是 天后的这一天呢？余数是余数是1 1，所以是所以是星期六星期六（4）（4）今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？所以余数是所以余数是1 1，思思考考：若将若将 除以除以9 9，则得，则得到的余数还是到的余数还是1 1吗？吗？82.2

11、.求求（1+（1+x）+（1+）+（1+x）2 2+（1+（1+x）1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数3.9192除以除以100的余数是的余数是.由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是814、已知、已知a,bN，m,n Z，且且2m+n=0，如果二如果二项式项式（ax m+bx n）12 的展开式中系数最大的项恰好的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求是常数项，求 a:b 的取值范围。的取值范围。令令m（12 r）+nr=0，将，将 n=2m 代入，解得代入，解得 r =4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。