定积分(北师大版选修2-2)PPT文档格式.ppt

1、份，如图所示。图图（1）中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然大于所显然大于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的过剩估计值过剩估计值，则有则有xoy1（2）图图（2）中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的不足估计值不足估计值，则有则有xoy1（3）我们可以用我们可以用 或或 近似表示近似表示 S，但是都存在，但是都存在误差，二者之差为误差，二者之差为 ，但是无论是用，但是无论是用 还还是是 来表示曲边梯形的面积，来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过误差都不会超过

2、0.2，如图如图（3）所示。所示。xoy1（4）为减小误差，我们将区间为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为 ，此时，无，此时，无论用论用 还是还是 来来表示表示 S，误差都不超过，误差都不超过 0.1。区间分的越细，误差越小。当所区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度分隔的区间长度趋于趋于 0，过剩估计值，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。和不足估计值都趋于曲边梯形面积。观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：学习目标：观察下列演示过程，注

3、意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系学习目标：当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积概括概括 前面，我们通过前面，我们通过“以直代曲以直代曲”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求面积逼近所求面积所分区间长度所分区间长度 0 估计值估计值所

4、求值所求值 练一练：练一练：求曲线求曲线y=xy=x3 3与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间（把区间00，1 51 5等分来估计）等分来估计）解析解析 把区间把区间 00，11 5 5等分，以每一个小区间等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值估计值 和过剩估计值和过剩估计值 ，如下：，如下：估计误差不会超过估计误差不会超过 -=0.2-=0.2探究点探究点3 3 估计变速运动的路程估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的

5、速度已知匀速运动物体的速度v和运动的时间和运动的时间t,我我们可以求出它走过的路程们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？运动的物体走过的路程呢？问题问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度后停下，在这一过程中，汽车的速度 v（单位：（单位：m/s）是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s.分析：分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v v（0）=

6、25（0）=25m/sm/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s s=25=255=125（m）5=125（m）但显然，这样的误差太大了但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离来估计滑行距离.首先，将滑行的时间首先，将滑行的时间5s5s平均分成平均分成5 5份份.我们分别用我们分别用v v（0）,（0）,v v（1）,（1）,v v（2）,（2）,v v（3）,（3）,v v（4）（4

7、）近似替代汽近似替代汽车在车在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出滑行距离度，求出滑行距离s s1 1：由于由于v v是下降的，所以显然是下降的，所以显然s s1 1大于大于s,s,我们称它为汽我们称它为汽车在车在5 s5 s内滑行距离的过剩估计值内滑行距离的过剩估计值.用用v v（1）,（1）,v v（2）,（2）,v v（3）,（3）,v v（4）,（4）,v v（5）（5）分别近似替代汽车分别近似替代汽车在在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出汽车在

8、度，求出汽车在5 5s s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：不论用过剩估计值不论用过剩估计值s s1 1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.10.1？为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小速度误差就越小.比如，将滑行时间比如，将滑行

9、时间5s5s平均分成平均分成1010份份.用类似的方法得到汽车在用类似的方法得到汽车在5s5s内滑行距离的过剩估内滑行距离的过剩估计值计值s s2 2：结论结论 滑行时间等分得越细，误差越小滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于被等分后的小时间间隔的长度趋于0 0时，过剩估计值时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.汽车在汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：无论用无论用s s2 2还是还是 表示汽车的滑行距离表示汽车的滑行距离s s，误差都不超过，误差都不超过变式练习变式练习 汽车作变速

10、直线运动，在时刻汽车作变速直线运动，在时刻t t的速度为的速度为v（tv（t）=-t）=-t2 2+2,+2,（单位：km/h）,km/h）,那么它在那么它在0t1（0t1（单位：单位：h）h）这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s是多少？（将行驶的时是多少？（将行驶的时间间1h1h平均分成平均分成1010份）份）解析解析 分别用分别用v（0）v（0），v（0.1）v（0.1），v（0.2）v（0.2），v（0.9）v（0.9）近似替代汽车在近似替代汽车在0 00.1h0.1h，0.10.10.2h0.2h，0.80.80.9h0.9h，0.90.91h1h的平均速度，求出汽车的平均速

11、度，求出汽车在在1h1h时行驶的路程的过剩估计值时行驶的路程的过剩估计值=v（0）+v（0.1）+v（0.2）+=v（0）+v（0.1）+v（0.2）+v（0.9）+v（0.9）0.10.1=1.715（km）.=1.715（km）.分别用分别用v（0.1）v（0.1），v（0.2）v（0.2），v（0.3）v（0.3），v（1）v（1）近似替代近似替代汽车在汽车在0 00.1h0.1h，0.10.10.2h0.2h，0.8 0.80.9h,0.90.9h,0.91h1h的平均速度，求出汽车在的平均速度，求出汽车在1h1h时行驶的路程的不足时行驶的路程的不足估计值估计值=v（0.1）+v（0.

12、2）+v（0.3）+=v（0.1）+v（0.2）+v（0.3）+v（1）+v（1）0.10.1=1.615（km）=1.615（km）无论用无论用 还是还是 估计汽车行驶的路程估计汽车行驶的路程s,s,估计误差都不估计误差都不会超过会超过1.715-1.615=0.11.715-1.615=0.1（kmkm）1.1.曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求值逼近所求值2.2.求面积和路程问题的步骤：求面积和路程问题的步骤：我们把由直线我们把由直线 x=ax=a，x=b（a b）x=b（a b），y=0y=0和曲和曲线线 y=f（xy=f（

13、x）所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形.回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？第四章 定积分的定义求由连续曲线求由连续曲线y=f（x）对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 （2）取取近近似似求求和和:任任取取x xi xi-1,xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高高为为f（x xi）而而宽宽为为D Dx的的小小矩形面矩形面积积f（x xi）D Dx近似之。近似之。（3）取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S为为 xiy=f（x）x yObaxi+1xi （1）分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:如果如果 趋近于趋近于0（亦即（亦即 ）时）时,上述和式上述和式无限的趋近某个常数无限的趋近某个常数A（即曲边梯形面积）（即曲边梯形面积）.称称A是是函数函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分.其中，其中，叫作叫作积分号积分号，叫作积分的叫作积分的下限下限，叫作积分叫作积分的的上限上限，叫作叫作被积函数被积函数，叫作叫作积分变量积分变量，叫作叫作积分区间积分区间.记作记作 ,即即A一、基本概念一、基本概念二、概念说明二、概念说明（1）.定积分定积分 是一个常数，即是一个常数，即 时，