线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)PPT资料.ppt

1、（3）相对性相对性 在系统的定义中,所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。动态系统动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统。系统变量可区分为三类形式 系统动态过程的数学描述 动态系统的分类动态系统的分类 从机制的角度从机制的角度 从特性的角度从特性的角度 从作用时间从作用时间类型的角度类型的角度 uxy连续系统按其参数连续系统按其参数的空间分布类型的空间分布类型 本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。线性系统理论的研究对象为线性系统线

2、性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L 系统模型系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统建立数学模型的途径：解析、辨识系统建模的准则：折衷 线性系统理论线性系统理论研究对象是研究对象是（线性的线性的）模型系统，不是模型系统，不是物理系统。物理系统。线性系统线性系统系统模型系统模型1.2 线性系统理论的基本概貌线性系统理论的基本概貌 线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本

3、任务的学科。主要内容主要内容:数学模型 分析理论 综合理论 发展过程发展过程:经典线性系统理论现代线性系统理论 主要学派主要学派:状态空间法状态空间法几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性

4、能间确定的和定量的关系。和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。第一部分第一部分:线性系统时间域理论线性系统时间域理论 第二章第二章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间状态和状态空间 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述（1）系统的外部描述 外部描述常被称作为输出输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述（2）系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由

5、两个数学方程表征 状态方程和输出方程。（3）外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。状态和状态空间的定义状态和状态空间的定义 状态变量组状态变量组:状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态空间：状态空间：状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释几点解释（1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0

6、 的任意初始状态变量组和tt0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定（2）.状态变量组最小性的物理特征（3）.状态变量组最小性的数学特征（4）.状态变量组的不唯一性（5）.系统任意两个状态变量组之间的关系（6）有穷维系统和无穷维系统（7）状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输

7、入、状态变量之间的关系）。选择状态变量2.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 以上方程可表为形如 机电系统状态空间描述的列写示例机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 连续时间线性系统的方块图连续时间线性系统的方块图 离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统状态空间描述的特点状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量

8、取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f（x,u,t）,g（x,u,t）的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f（x,u,t）,g（x,u,t）的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即

9、 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机

10、变量 2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出（1）m=n,即系统为真情形（2）mn,即系统为严真情形 结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出（1）m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量 其对

11、应的状态空间描述为:（2）m0情形此时输入输出描述为:其对应的状态空间描述为:其中两种状态空间描述为:结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即传递函数分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：（1）mt0,以及一个无约束的容许控制u（t）,tt0,t1,使系统状态由x（t0）=0转移到x（t1）=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达能达。注意：对连续连续时间线性时不变时不变系统，能控性和能达性等价等价；对离散离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异为非奇异，则能控性和能达性等价等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般

12、为不等价。定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初 始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统系统能控性，能达性定义能控性，能达性定义 能观测性定义能观测性定义和指定初始时刻t0J,如果存

13、在一个时刻t1J，t1t0，使系统以x（t0）=x0为初始状态的输出y（t）恒为零，即y（t）0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统 如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x（t）的能观测性与x（t0）的能观测性是等价的。从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎

14、等于1。其解为；42 连续时间线性系统的能控性判据连续时间线性系统的能控性判据 结论结论1：（格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据）线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明：充分性充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据的 意义主要在于理论分析中的应用。结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A（t）,B（t）对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 能控性秩判据能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变时不变系统：完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。（格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据）主要在于理论分析和推导中的应用。主要在于理论分析和推导中的应用。结论4（能控性秩判据）（能控性秩判据）对n 维连续时间线性时不变时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满