最适合初学者看的能带理论PPT课件下载推荐.ppt

1、原子的内层电子与原子核结合较紧原子的内层电子与原子核结合较紧,一般一般不是不是 共有化电子。4二二.能带能带（energy band）量子力学计算表明，晶体中若有量子力学计算表明，晶体中若有N个个原子，由于各原子间的相互作用，对应于原子，由于各原子间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级原来孤立原子的每一个能级,在晶体中变在晶体中变成了成了N条靠得很近的能级条靠得很近的能级,称为称为能带能带。晶体中的电子能级晶体中的电子能级有什么特点？有什么特点？5能带的宽度记作能带的宽度记作 E，数量级为数量级为 EeV。若若N1023,则能带中两能级的间距约则能带中两能级的间距约10-23eV。一般规

2、律：1.越是外层电子，能带越宽，越是外层电子，能带越宽，E越大。越大。2.点阵间距越小，能带越宽，点阵间距越小，能带越宽，E越大。3.两个能带有可能重叠。两个能带有可能重叠。6离子间距离子间距a2P2S1SE0能带重叠示意图能带重叠示意图7三三.能带中电子的排布能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。某一能级上。排布原则：1.服从泡里不相容原理（费米子）服从泡里不相容原理（费米子）2.服从能量最小原理服从能量最小原理设孤立原子的一个能级设孤立原子的一个能级 Enl ，它它最多能容最多能容纳纳 2（2 +1）个电子。个电子。这一能级

3、分裂成由这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，条能级组成的能带后，能带最多能容纳能带最多能容纳 2N（2l+1）个电子。8 电子排布时，应从最低的能级排起。电子排布时，应从最低的能级排起。有关能带被占据情况的几个名词：1满带（排满电子）满带（排满电子）2价带（能带中一部分能级排满电子）价带（能带中一部分能级排满电子）亦称导带亦称导带 3空带（未排电子）空带（未排电子）亦称导带亦称导带 4禁带（不能排电子）禁带（不能排电子）2、3能带，最多容纳能带，最多容纳 6N个电子。例如，例如，1、2能带，最多容纳能带，最多容纳 2N个电子。2N（2l+1）9一一.布洛赫定理布洛赫定理一个在周期场中运动的

4、电子的波函数应一个在周期场中运动的电子的波函数应具有哪些基本特点？具有哪些基本特点？在量子力学建立以后，布洛赫（在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里渊（和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。他们的工作为周期场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。晶体中电子的能带理论奠定了基础。布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。波函数的特点。8.2（补充）（补充）布洛赫定理布洛赫定理 空间空间10在一维情形下，周期场中运动的电子能量在一维情形下，周期场中运动的电子能量E（k）

5、和波函数和波函数 必须满足定态薛定谔方程必须满足定态薛定谔方程 k-表示电子状态的角波数表示电子状态的角波数V（x）-周期性的势能函数，它满足周期性的势能函数，它满足 V（x）=V（x+n a）a -晶格常数晶格常数 n -任意整数任意整数11布洛赫定理：布洛赫定理：式中式中 也是以也是以a为周期的周期函数，为周期的周期函数，即即 *注注*：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者：关于布洛赫定理的证明，有兴趣的读者 可以查阅可以查阅固体物理学固体物理学黄昆原著黄昆原著 韩汝琦改编韩汝琦改编（1988）P154具有具有（2）式形式的波函数称为布洛赫波函数式形式的波函数称为布洛赫波函数,或布洛赫函数。

6、或布洛赫函数。满足（满足（1）式的定态波函数必定具有如下的）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式特殊形式12 布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子波函数为：一个自由电子波函数波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有与一个具有晶体结构周期性的函数晶体结构周期性的函数 的乘积。的乘积。只有在只有在 等于常数时，在周期场中运动的等于常数时，在周期场中运动的 电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的 倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特

7、点。倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。因此，布洛赫函数是比自由电子波函数因此，布洛赫函数是比自由电子波函数 更接近实际情况的波函数。更接近实际情况的波函数。它是按照晶格的周期它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。调幅的行波。13 实际的晶体体积总是有限的。因此必须实际的晶体体积总是有限的。因此必须考虑边界条件。考虑边界条件。设一维晶体的原子数为设一维晶体的原子数为N,它的线度为它的线度为 L=Na,则则布洛赫波函数布洛赫波函数 应满足如下条件应满足如下条件此式称为周期性边界条件。此式称为周期性边界条件。二二.周期性边界条件周期性边界条件采用周期性边界条件以后，具有采用周期性边界条件以后

8、，具有 N 个个晶格点的晶格点的晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：在固体问题中，为了既考虑在固体问题中，为了既考虑到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限的，我们经常合理地采用的，我们经常合理地采用周期性边界条件周期性边界条件：14由周期性边界条件可以推出由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数布洛赫波函数 的的波数波数 k 只能取一些特定的分立值。只能取一些特定的分立值。aa周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。图图 2 周期性边界条件示意图周期性边界条件示意图15左边为左边为右边为

9、右边为所以所以由周期性边界条件由周期性边界条件即周期性边界条件使即周期性边界条件使 k 只能取分立值：只能取分立值：证明如下证明如下:按照布洛赫定理：16k 是代表电子状态的角波数是代表电子状态的角波数,n 是代表电子状态的量子数。是代表电子状态的量子数。对于三维情形对于三维情形,电子状态由一组量子数电子状态由一组量子数（nx、ny、nz）来代表。来代表。它对应一组状态角波数（它对应一组状态角波数（kx、ky、kz）。）。一个一个 对应电子的一个状态。对应电子的一个状态。17我们以我们以 为三个直角坐标轴，建立为三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、一个假想的空间。这个空间

10、称为波矢空间、空间，或动量空间空间，或动量空间*。kx、ky、kz由于德布洛意关系由于德布洛意关系 ，即，即 ，所以所以 空间也称为动量空间。空间也称为动量空间。注：在在 空间中，电子的每个状态可以用空间中，电子的每个状态可以用一个状态点来表示，这个点的坐标是一个状态点来表示，这个点的坐标是三三.空间空间18kykx0-112-23-31-12-2-33上式告诉我们，沿上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向，空间的每个坐标轴方向，电子的相邻两个状态点之间的距离都是电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。图图 3 表示二维表示二维 空间每个点所占的面积是空间每个点所占的面积是 。因此，因此，空间中

11、每个状态点所占的体积为空间中每个状态点所占的体积为 。图图 3 二维二维 空间空间 示意图示意图19 8.3 克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型 能带中的能级数目能带中的能级数目 一一.克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型 能带理论是单电子近似理论。能带理论是单电子近似理论。布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，其波函数一定是布洛赫函数。其波函数一定是布洛赫函数。下面我们通过一个最简单的一维周期场下面我们通过一个最简单的一维周期场-克朗尼格克朗尼格-朋奈（朋奈（Kroning-Penney）模型来说明模型来说明晶体中电子的能量特点。晶体中电子的能量特

12、点。周期性边界条件的周期性边界条件的引入引入,说明了电子的状态是分立的。说明了电子的状态是分立的。它把每个电子的它把每个电子的运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。现在再来说明电子的能量有什么特点？回顾回顾：20 克朗尼格克朗尼格-朋奈模型是把图朋奈模型是把图1的周期场简化为的周期场简化为图图 4 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的周期势场中运动。周期势场中运动。在在 0 x a 一一个周期的区域中，电子的势能为个周期的区域中，电子的势能为0caU0U（x）xb图图 4 克朗尼格克朗尼格-朋奈模型朋奈模型21按

13、照布洛赫定理，波函数应有以下形式按照布洛赫定理，波函数应有以下形式式中式中 即可得到即可得到 满足的方程满足的方程将波函数将波函数 代入定态薛定谔方程代入定态薛定谔方程22利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理（自然）条件，进行一些必要的推导和简化，（自然）条件，进行一些必要的推导和简化，最后可以得出下式最后可以得出下式注注*：有兴趣的读者可参阅：有兴趣的读者可参阅固体物理基础固体物理基础 蔡伯熏编（蔡伯熏编（1990）P 268。式中式中而而 是电子波的角波数是电子波的角波数*。（4）式就是电子的能量）式就是电子的能量 E 应满足的方程应满足的方程,

14、也是电子也是电子能量能量 E与角波数与角波数 k 之间的关系式。之间的关系式。23（4）式的式的左边是左边是 能量能量E 的一个较复杂的函数，记作的一个较复杂的函数，记作 f（E）；由于由于 ，所以使所以使 的的 E 值值都不满足方程。都不满足方程。下图下图5 为为 给出了一定的给出了一定的 a、b、U0 数值后的数值后的 f（E）：右边是右边是角波数角波数 k 的函数。的函数。24由图看出，在允许取的由图看出，在允许取的 E值（暂且称为能级）之间，值（暂且称为能级）之间，有一些不允许取的有一些不允许取的 E值（暂且称为能隙）。值（暂且称为能隙）。下面下面 的图的图 6 为为E k 曲线的某种表达图式。曲线的某种表达图式。图图 5 f（E）函数图函数图f（E）E25E2E3E5E4E6E7E10E图图 6 E k 曲线的表达图式曲线的表达图式26两个相邻能带之两个相邻能带之间的能量区域称间的能