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1、 4.5 双双 曲曲 面面1.单叶双曲面单叶双曲面定义定义 4.5.1 在直角坐标系下，方程在直角坐标系下，方程（4.5-1）所表示的曲面叫做单叶双曲面，所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程（方程（4.5-1）叫做）叫做单叶双曲面的标准方程，单叶双曲面的标准方程，其中其中是任意的正常数是任意的正常数.现在我们从方程现在我们从方程（4.4-1）出发来讨论椭球面的出发来讨论椭球面的一些最简单的图形性质一些最简单的图形性质.单叶双曲面与单叶双曲面与z轴不相交，轴不相交，与与x轴与轴与y轴分别交于点轴分别交于点这四点叫做单叶双曲面的这四点叫做单叶双曲面的顶点顶点.因为方程仅含有坐标的平方项，可见当因为方程

2、仅含有坐标的平方项，可见当满足方程时，满足方程时，点点也一定也一定关于三坐标平面，关于三坐标平面，三坐标轴及坐标原点都对称三坐标轴及坐标原点都对称.满足，满足，其中正负号可任意选取，其中正负号可任意选取，所以单叶双曲面所以单叶双曲面（1）对称性）对称性（2）顶点）顶点1.单叶双曲面单叶双曲面关于坐标关于坐标关于坐标关于坐标原点、各坐标面、坐标原点、各坐标面、坐标原点、各坐标面、坐标原点、各坐标面、坐标轴对称轴对称轴对称轴对称zyx0MNz（x,y,z）单叶双曲面与单叶双曲面与x和和y坐标轴的交点分别坐标轴的交点分别为为这四个点叫做这四个点叫做单叶双曲面的顶点单叶双曲面的顶点与与z轴没有交点轴没

3、有交点下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点.对称性已经讨论对称性已经讨论利用平行截割法利用平行截割法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法即平行平面的截口来研究曲面图形的方法.xyzO如果用三个坐标平面如果用三个坐标平面 分别截割曲分别截割曲面，那么所得的截线顺次为面，那么所得的截线顺次为yxzo这三个截口叫做主截线这三个截口叫做主截线（1）（2）（3）面上的椭圆，面上的椭圆，叫做单叶双曲面的腰椭圆；#叫做单叶双曲面的腰椭圆；#（2）与与（3）分别为分别为面与面与面上的双曲线，面上的双曲线，这两这两条双曲线有着共同的虚轴与虚轴长条双曲线有着共同的虚轴与虚轴长（

4、1）（2）（3）yxzo 当我们用一组平行平面当我们用一组平行平面来截割单叶双曲面来截割单叶双曲面（4.5-1），便得到椭圆，便得到椭圆（4）Z=hZ=h它的两半轴分别是它的两半轴分别是yxzo两轴的端点分别为两轴的端点分别为容易知道这两对端点分别在主双曲线容易知道这两对端点分别在主双曲线（2）与与（3）上上.（2）（3）yxzo 单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生的，（大小位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中这个椭圆在变动中这样，这样，保持所在的平面与保持所在的平面与面平行，面平行，且两对顶点分别且两对顶点分别沿着两个定双曲线沿

5、着两个定双曲线（2）与与（3）滑动滑动单叶双曲面单叶双曲面yxzo 当我们用一组平行平面当我们用一组平行平面来截割单叶双曲面便得到椭圆来截割单叶双曲面便得到椭圆如果用平行于如果用平行于的平面的平面来截割单叶双曲面，来截割单叶双曲面，那么截线为？#那么截线为？#先看方程是什么先看方程是什么 如果用平行于如果用平行于的平面的平面来截割单叶来截割单叶双曲面双曲面（4.5-1），那么截线的方程为：#，那么截线的方程为：#（2）当当时，时，截线截线（2）为双曲线，为双曲线，轴，轴，实半轴长为实半轴长为它的实轴平行于它的实轴平行于虚轴平行于虚轴平行于 轴，轴，虚半轴长为虚半轴长为且双曲线且双曲线（2）的顶

6、点的顶点？#轴，轴，实半轴长为实半轴长为虚轴平行于虚轴平行于 轴，轴，虚半轴长为虚半轴长为且双曲线且双曲线（2）的顶点的顶点在腰椭圆在腰椭圆（1）上上（2）yxzo顶点在腰椭圆上顶点在腰椭圆上yxz当当时，时，截线仍为双曲线，截线仍为双曲线，但它的实轴平行于但它的实轴平行于z轴，轴，实半轴长为实半轴长为虚半轴平行于虚半轴平行于x轴，轴，虚半轴长为虚半轴长为而且它的顶点而且它的顶点在在主双曲线上主双曲线上.yxzo当当时，时，截线仍为双曲线，截线仍为双曲线，但它的实轴平行于但它的实轴平行于z轴，轴，实半轴长为实半轴长为虚半轴平行于虚半轴平行于x轴，轴，虚半轴长为虚半轴长为而且它的顶点而且它的顶点

7、在在主双曲线上主双曲线上.yxz当当时，时，截线变成截线变成或或这是两条直线这是两条直线或或或或当当时，时，截线变成两条直线截线变成两条直线yxzo或或当当时，时，截线变成两条直线截线变成两条直线yxz如果如果那么两条直线交于那么两条直线交于（0,-b,0）.如果如果那么两条直线交于点那么两条直线交于点（0,b,0）,yxz（0,b,0）（0,-b,0）如果用平行于如果用平行于的平面来截割单叶双曲面的平面来截割单叶双曲面（4.5-1）,那么它与用平行于那么它与用平行于的平面来截割所得的平面来截割所得结果完全相类似结果完全相类似.yx如果用平行于如果用平行于的平面来截割单叶双曲面的平面来截割单叶

8、双曲面（4.5-1）,那么它与用平行于那么它与用平行于的平面来截割所得的平面来截割所得结果完全相类似结果完全相类似.yxz在单叶双曲面方程中，如果在单叶双曲面方程中，如果那么它就成为那么它就成为单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面（4.3-3）.方程方程与与所表示的图形，也都是单叶双曲面所表示的图形，也都是单叶双曲面.如果如果那么两条直线交于那么两条直线交于（-a,0,0）.如果如果那么两条直线交于点那么两条直线交于点（a,0,0）,例例 用一组平行平面用一组平行平面 ，截，截割单叶双曲面割单叶双曲面得一族椭圆，得一族椭圆，求这些椭圆焦点得轨迹。#求这些椭圆焦点得轨迹。#解解这一族椭圆的方程为这一族椭圆的方程为即即因为因为 ，所以椭圆的长半轴为，所以椭圆的长半轴为 ，短半，短半轴为轴为 ，从而椭圆焦点的坐标为，从而椭圆焦点的坐标为消去参数消去参数 得得显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面显然这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面 上上的双曲线，双曲线的实轴为的双曲线，双曲线的实轴为 轴虚轴为轴虚轴为 轴。#轴。#思考与练习：#第思考与练习：#第166页页.1.4.作业：#作业：#第第166页页.3.5.