二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题PPT文档格式.ppt

1、一、f（x）Pm（x）ex型二、f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinx型12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程上页下页铃结束返回首页 方程ypyqyf（x）称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY（x）与非齐次方程本身的一个特解yy*（x）之和 yY（x）y*（x）上页下页铃结束返回首页提示 Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）exQ（x）+2Q（x）+2Q（x）expQ（x）+Q（x）ex+qQ（x）ex一、f（x）Pm（x）ex 型y*Q（x）ex 设方程ypyqyPm（x）ex 特解形式为 下页Q（x

2、）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得 Q（x）exQ（x）exqQ（x）ex y*py*qy*上页下页铃结束返回首页提示 此时2pq0 要使（）式成立 Q（x）应设为m次多项式 Qm（x）b0 xmb1xm1 bm1xbm （1）如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm（x）ex 下页一、f（x）Pm（x）ex 型y*Q（x）ex 设方程ypyqyPm（x）ex 特解形式为 Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得 上页下页铃结束返回首页提示 此时2pq0 但2p0 要 使（）式 成 立 Q（x）应 设 为 m1次 多 项 式 Q（x）xQm（x）其

3、中Qm（x）b0 xm b1xm1 bm1xbm （2）如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm（x）ex 下页 （1）如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm（x）ex 一、f（x）Pm（x）ex 型y*Q（x）ex 设方程ypyqyPm（x）ex 特解形式为 Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得 上页下页铃结束返回首页提示 此时2pq0 2p0 要使（）式成立 Q（x）应设为m2次多项式 Q（x）x2Qm（x）其中Qm（x）b0 xmb1xm1 bm1xbm （3）如果是特征方程r2prq0的重根 则y*x2Qm（x）ex 下页 （2）如果是特征方程r2

4、prq0的单根 则y*xQm（x）ex （1）如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm（x）ex 一、f（x）Pm（x）ex 型y*Q（x）ex 设方程ypyqyPm（x）ex 特解形式为 Q（x）（2p）Q（x）（2pq）Q（x）Pm（x）（）则得 上页下页铃结束返回首页v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm（x）ex有形如y*xkQm（x）ex的特解 其中Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 下页上页下页铃结束返回首页提示 因为f（x）Pm（x）ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的

5、特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式上页下页铃结束返回首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x 因为f（x）Pm（x）exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x（b0 xb

6、1）e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x2b0b1x 提示2b01 2b0b10 特解形式上页下页铃结束返回首页首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 2b0 x2b0b1x 因此所给方程的通解为 因为f（x）Pm（x）exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x（b0 xb1）e2x 把它代入所给方程 得特解形式上页下页铃结束返回首页 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl（x）cosxPn（x）sinx有形如 y*xkexR（1）m（x）cosxR（2）m（x）sinx的特解 其中R（1）m（x）、R（2）m（x）是m次多项式 mmaxl n 而k按i（或i）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinx型下页 v结论 上页下页铃结束返回首页 解 结束特解形式 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*（axb）cos2x（cxd）sin2x （3ax3b4c）cos2x（3cx4a3d）sin2xxcos2x