高考数学函数的奇偶性复习PPT文档格式.ppt

1、（1 1）考查定义域是否关于）考查定义域是否关于_；（2 2）考查表达式）考查表达式f f（-x x）是否等于）是否等于f f（x x）或）或-f f（x x）：）：若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为奇函数；）为奇函数；若若f f（-x x）=_=_，则，则f f（x x）为偶函数；）为偶函数；若若f f（-x x）=_=_且且f f（-x x）=_,=_,则则f f（x x）既是既是 奇函数又是偶函数；奇函数又是偶函数；若若f f（-x x）-f f（x x）且）且f f（-x x）f f（x x），则），则f f（x x）既）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数

2、不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点对称原点对称-f f（x x）f f（x x）-f f（x x）f f（x x）3.3.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质（1）（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_（_（填填 “相同相同”、“相反相反”）.（2）（2）在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是_,_,两个奇函数的积是偶两个奇函数的积是偶 函数；函数；两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是_；一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数

3、的积是_._.奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数相同相同相反相反基础自测基础自测1.1.对任意实数对任意实数x x,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是 （）A.A.y y=2=2x x-3 -3 B.B.y y=-3=-3x x2 2 C.C.y y=lnln 5 5x x D.D.y y=-|=-|x x|cos|cos x x 解析解析 A A为非奇非偶函数为非奇非偶函数,B,B、D D为偶函数为偶函数,C,C为奇函为奇函 数数.设设y y=f f（x x）=）=lnln 5 5x x=x xlnln 5,5,f f（-x x）=-=-x xlnln 5=5=-f f（x x）.C

4、2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数 的图象关于的图象关于 （）A.A.y y轴对称轴对称 B.B.直线直线y y=-=-x x对称对称 C.C.坐标原点对称坐标原点对称 D.D.直线直线y y=x x对称对称 解析解析 f f（x x）是奇函数）是奇函数.f f（x x）的图象关于原点对称）的图象关于原点对称.C3.3.下列函数中既是奇函数下列函数中既是奇函数,又在区间又在区间-1,1-1,1上单调递减上单调递减 的函数是（的函数是（）A.A.f f（x x）=sin）=sin x x B.B.f f（x x）=-|）=-|x x-1|-1|C.C.D.D.解析解析 函数是奇函

5、数函数是奇函数,排除排除B B、C C（B B中函数是非奇中函数是非奇 非偶函数，非偶函数，C C中是偶函数），中是偶函数），-1-1，1 1 f f（x x）=sin=sin x x在在-1,1-1,1上是增函数上是增函数,排除排除A,A,故选故选D.D.D4.4.已知已知f f（x x）=axax2 2+bxbx是定义在是定义在 a a-1-1，2 2a a 上的偶函数上的偶函数,那么那么a a+b b的值是的值是 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 依题意得依题意得B5.5.（20082008福建理）福建理）函数函数f f（x x）=x x3 3+sin+sin x x+1（+

6、1（x xR R）,）,若若f f（a a）=2=2，则，则f f（-a a）的值为）的值为 （）A.3 B.0 C.-1 D.-2A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 设设g g（x x）=）=x x3 3+sin+sin x x,很明显很明显g g（x x）是一个奇函数是一个奇函数.f f（x x）=g g（x x）+1.+1.f f（a a）=g g（a a）+1=2+1=2，g g（a a）=1=1，g g（-a a）=-1=-1，f f（-a a）=g g（-a a）+1=-1+1=0.+1=-1+1=0.B题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例例1 1】判断下列

7、函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）（1）（2）（2）（3）（3）判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先检查定义域是应先检查定义域是 否关于原点对称否关于原点对称,然后再比较然后再比较f f（x x）与与f f（-（-x x）之间是否之间是否 相等或相反相等或相反.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪解解 （1）（1）定义域关于原点对称定义域关于原点对称.故原函数是奇函数故原函数是奇函数.（2）0（2）0且且1-1-x x00-1-1x x1,00时时,f f（x x）=）=x x2 2+x x,则当则当x x00,0,故故f f（-（-x x）=）=x x2 2-x x=

8、f f（x x）;）;当当x x000时时,-,-x x0,00或或x x00来来寻找等式寻找等式f f（-（-x x）=）=f f（x x）或或f f（-（-x x）=-）=-f f（x x）成立成立,只有当对称只有当对称的两个区间上满足相同关系时的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确分段函数才具有确定的奇偶性定的奇偶性.知能迁移知能迁移1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:（1）（1）（2）（2）解解 （1）-2（1）-2x x22且且x x0,0,函数函数f f（x x）的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称.f f（-（-x x）=-）=-f f（x x）,）,即函

9、数即函数f f（x x）是奇函数是奇函数.（2）（2）当当x x-11,1,f f（-（-x x）=-（-）=-（-x x）+2=）+2=x x+2=+2=f f（x x）.）.当当x x11时时,f f（x x）=-）=-x x+2,-+2,-x x-1,-1,f f（-（-x x）=（-）=（-x x）+2=-）+2=-x x+2=+2=f f（x x）.）.当当-1-1x x11时时,f f（x x）=0,-1-）=0,-1-x x1,1,f f（-（-x x）=0=）=0=f f（x x）.）.综上可知综上可知,对于定义域内的每一个对于定义域内的每一个x x都有都有f f（-（-x x

10、）=）=f f（x x）,）,f f（x x）为偶函数为偶函数.题型二题型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性【例例2 2】已知函数已知函数f f（x x）,）,当当x x,y yR R时，恒有时，恒有f f（x x+y y）=）=f f（x x）+）+f f（y y）.）.（1）（1）求证：求证：f f（x x）是奇函数；是奇函数；（2）（2）如果如果x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,并且并且f f（1）=（1）=试求试求 f f（x x）在区间在区间-2-2，6 6上的最值上的最值.（1）（1）根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证只需

11、证f f（x x）+）+f f（-（-x x）=0;）=0;（2）（2）根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用偶性的应用.思维启迪思维启迪（1）（1）证明证明 函数定义域为函数定义域为R R,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称.f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），令），令y y=-=-x x,f f（0）=（0）=f f（x x）+）+f f（-（-x x）.）.令令x x=y y=0,=0,f f（0）=（0）=f f（0）+（0）+f f（0）,（0）,得得f f（0）=0.（0）=0.f f（x x

12、）+f f（-x x）=0=0，得，得f f（-（-x x）=-）=-f f（x x）,）,f f（x x）为奇函数为奇函数.（2 2）解解 方法一方法一 设设x x,y y为正实数，为正实数，f f（x x+y y）=f f（x x）+f f（y y），），f f（x x+y y）-f f（x x）=f f（y y）.x x为正实数，为正实数，f f（x x）0,0,f f（x x+y y）-）-f f（x x）0,）0,f f（x x+y y）x x,f f（x x）在（在（0 0，+）上是减函数）上是减函数.又又f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0=0，f f（x

13、x）在（）在（-,+-,+）上是减函数）上是减函数.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f（6）（6）为最小值为最小值.f f（1）=（1）=f f（-2）=-（-2）=-f f（2）=-2（2）=-2f f（1）=1,（1）=1,f f（6）=2（6）=2f f（3）=2（3）=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f（x x）在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3.-3.方法二方法二 设设x x1 1 0,0,f f（x x2 2-x x1 1）0.）0.f f（x x2 2）-）-f f（x x1 1）0.）0

14、.即即f f（x x）在在R R上单调递减上单调递减.f f（-2-2）为最大值，）为最大值，f f（6 6）为最小值）为最小值.f f（1 1）=f f（-2-2）=-=-f f（2 2）=-2=-2f f（1 1）=1=1 f f（6 6）=2=2f f（3 3）=2=2f f（1 1）+f f（2 2）=-3.=-3.所求所求f f（x x）在区间在区间-2-2，6 6上的最大值为上的最大值为1 1，最小值，最小值为为-3.-3.探究提高探究提高 （1 1）满足）满足f f（a a+b b）=）=f f（a a）+）+f f（b b）的函数，只的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是

15、奇函数要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2 2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用 方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.知能迁移知能迁移2 2 函数函数f f（x x）的定义域为的定义域为D D=x x|x x0,0,且满且满 足对于任意足对于任意x x1 1,x x2 2D D,有有f f（x x1 1x x2 2）=）=f f（x x1 1）+）+f f（x x2 2）.）.（1 1）求）求f f（1）（1）的值；的值；（2 2）判断）判断f f（x x）的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；（3 3）如果）如果f f（4）=1,（4）=1,f f（3（3x x+1）+1）+f f（2（2x x-6）3,-6）3,且且f f（x x）在在 （0（0，+）+