微分中值定理与导数的应用优质PPT.ppt

1、（1）在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；（2）在开区间在开区间（a,b）内可导内可导则至少存在一点则至少存在一点（a,b）,使得使得证证 作辅助函数作辅助函数F（x）在在a,b上连续上连续,在在（a,b）内可导内可导,且且 返回返回上页上页下页下页故故 F（x）满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点从而至少存在一点（a,b）,使得使得F（）=0,即即 因此得因此得返回返回上页上页下页下页 拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成此公式也可以写成f（b）-f（a）=f（）（b-a）（a b）另外，由于另外，由于

2、 是是（a,b）中的一个点中的一个点,它还可以表示成它还可以表示成 =a+（b-a）（0 1）,于是，拉格朗日中值公式又可写成于是，拉格朗日中值公式又可写成 f（b）-f（a）=（b-a）f a+（b-a）（0 1）要注意的是，在公式中，无论要注意的是，在公式中，无论ab或或ab，公式总是成，公式总是成立的，其中立的，其中是介于是介于a与与b之间的某个数之间的某个数注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量增量与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的导数导数之间之间的关系的关系.返回返回上页上页下页下页例例4证证返回返回上页上页下页下页例

3、例5 证明不等式证明不等式对一切对一切x0成立成立.ln（1+x）x1）,证证 由于由于f（x）=ln（1+x）在，在，）上连续、可导，）上连续、可导，对任何对任何x0，在，在0,x上运用微分中值公式上运用微分中值公式,得得 （0 1）即 ln（1+x）=由于由于 x,因此当因此当x0时，有时，有f（x）-f（0）=f（x）x,（0ln（1+x）x 返回返回上页上页下页下页推论推论1 如果如果f（x）在开区间在开区间（a,b）内可导内可导,且且f（x）0,则在则在（a,b）内内,f（x）恒为一个常数恒为一个常数证证 在在（a,b）内任取两点内任取两点x1,x2,设设x1 x2,显然显然f（x）

4、在在x1,x2上满足拉格朗日中值定理的条件上满足拉格朗日中值定理的条件因为因为 f（x）0,所以所以 f（）=0.从而从而 f（x2）=f（x1）.返回返回上页上页下页下页例例4证证返回返回上页上页下页下页推论推论2 若若f（x）及及g（x）在在（a,b）内可导内可导,且对任意且对任意x（a,b）,有有f（x）=g（x）,则在则在（a,b）内内,f（x）=g（x）+C（C为常数为常数）.证证 因因f（x）-g（x）=f（x）-g（x）=0,由推论由推论1,有有f（x）-g（x）=C,即即f（x）=g（x）+C,x（a,b）返回返回上页上页下页下页三、三、柯西中值定理柯西中值定理定理定理3（柯西

5、中值定理柯西中值定理）若函数若函数f（x）和和g（x）满足以下条件满足以下条件:（1）在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,（2）在开区间在开区间（a,b）内可导内可导,且且g（x）0,那么在那么在（a,b）内至少存在一点内至少存在一点,使得使得证证 若若g（a）=g（b）,则由罗尔定理则由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点 1（a,b）,使使g（1）=0,这与定理的假设矛盾这与定理的假设矛盾.故故g（a）g（b）.返回返回上页上页下页下页作辅助函数作辅助函数F（x）满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件,于是在于是在（a,b）内至少存在内至少存在一点一点,使得使得 从而有从而有返回返回上

6、页上页下页下页例例5证证返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式注意利用中值定理证明等式与不等式.返回返回上页上页下页下页练练 习习 题题3（1,2）,（2,3）,（3,4）前者是后者的特殊情形前者是后者的特殊情形,加加即可即可 增量增量 导数导数 恒为零恒为零 返回返回上页上页下页下页第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 一、一、型未定式型

7、未定式 定理定理1 设设f（x）,g（x）满足下列条件：满足下列条件：（1）f（x）=0,g（x）=0；（2）f（x）,g（x）在在 内可导内可导,且且g（x）0；（3）存在存在（或为或为）则则返回返回上页上页下页下页证证 由条件由条件（1）,设设f（x0）=0,g（x0）=0.由条件由条件（1）和和（2）知知f（x）与与g（x）在在U（x0）内连续内连续 设设x ,则则f（x）与与g（x）在在x0,x或或x,x0 上满足柯上满足柯西定理的条件西定理的条件,当当xx0时时,显然有显然有 x0,由条件由条件（3）得得返回返回上页上页下页下页例例解解如果如果 仍为仍为 型未定式型未定式,且且f（x

8、）,g（x）满足满足定理条件，则可继续使用洛必达法则定理条件，则可继续使用洛必达法则.注意注意:返回返回上页上页下页下页例例2解解返回返回上页上页下页下页推论推论1 设设f（x）与与g（x）满足满足 （1）f（x）=0,g（x）=0;（2）存在存在X0,当当x X时时,f（x）和和g（x）可导可导,且且g（x）0;（3）存在存在（或为或为）则则证证 令令x=1/t,则则x时时,t0 返回返回上页上页下页下页例例3解解返回返回上页上页下页下页二、二、型未定式型未定式 定理定理2 设设f（x）,g（x）满足下列条件：（1）f（x）=,g（x）=；（2）f（x）和和g（x）在在 内可导内可导,且且g

9、（x）0；（3）存在存在（或为或为）则则 返回返回上页上页下页下页推论推论2 设设f（x）与与g（x）满足满足 （1）f（x）=,g（x）=;（2）存在存在X0,当当 x X时时,f（x）和和g（x）可导可导,且且g（x）0;（3）存在存在（或为或为）则则返回返回上页上页下页下页例例4解解返回返回上页上页下页下页解解例例5返回返回上页上页下页下页三、三、其它未定式其它未定式 若对某极限过程有若对某极限过程有f（x）0且且g（x）,则称则称limf（x）g（x）为为0型未定式型未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f（x）且且g（x）,则称则称limf（x）-g（x）为为-型未定式型未定式若对某

10、极限过程有若对某极限过程有f（x）且且g（x）,则称则称limf（x）g（x）为为00型型未定式未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f（x）1且且g（x）,则称则称limf（x）g（x）为为1 型型未定式未定式若对某极限过程有若对某极限过程有f（x）且且g（x）0,则称则称limf（x）g（x）为为 0型未定式型未定式 返回返回上页上页下页下页例例6 6解解关键关键:将其化为洛必达法则可解决的类型将其化为洛必达法则可解决的类型.步骤步骤:返回返回上页上页下页下页例例7解解返回返回上页上页下页下页例例8 8解解步骤步骤:返回返回上页上页下页下页步骤步骤:例例9 9解解返回返回上页上页下页下页例

11、例1010解解例例1111解解返回返回上页上页下页下页例例1212解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件返回返回上页上页下页下页例例13解解返回返回上页上页下页下页练练 习习 题题返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页练习题答案练习题答案返回返回上页上页下页下页第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 回顾微分概念回顾微分概念:若若 在点在点 的某邻域内可导，则有的某邻域内可导，则有f（x）=f（x）f+f（x）即即从而在点从而在点 的某邻域内，的某邻域内，f+上式表明，如果我们用关于上式表明，如果我们用关

12、于 的一次多项式作为的一次多项式作为 的函数值，则其误差是关于的函数值，则其误差是关于 的一个高阶无穷小的一个高阶无穷小.f（x）近似公式有两点不足近似公式有两点不足:（1）精度不高；精度不高；（2）没有误差估计式没有误差估计式.返回返回上页上页下页下页于是，设想用一个关于于是，设想用一个关于 的的n次多项式次多项式与一个关于与一个关于 的高阶无穷小来表达函数的高阶无穷小来表达函数 ，即使，即使f（x）f（x）=英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性英国数学家泰勒提出并证明了上述设想的正确性.显然显然如此下去，有如此下去，有返回返回上页上页下页下页从而有从而有返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页为函数为函数 在点在点 处的处的n阶泰勒公式阶泰勒公式.f（x）而且而且从而当从而当x时，时，（x）是关于是关于的高阶无穷小，的高阶无穷小，（x）=o（）,称这种形式的余项为