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1、Reuleaux三角形是等宽的三角形是等宽的.ReuleauxReuleaux三角形是等宽的三角形是等宽的,而且而且,它可以放进一个它可以放进一个正方形中正方形中.Reuleaux三角形被放进正方形中把钻头的截面截面取为这种“曲边三角形”.事与愿违：以曲边三角形中心转动,还是钻成圆孔 偏心钻用于钻方孔理论上说，可以钻方孔啦！保持外部轮廓不变保持外部轮廓不变,而挖掉部分图形而挖掉部分图形,这就是这就是为了排除废屑为了排除废屑!可排废屑的方孔钻头截面钻方孔.曲边三角形还有其它用途曲边三角形还有其它用途曲边三角形在电影放映机中的应用曲边三角形在内燃机中的应用 追求卓越 学会精彩意味着善于改变对象的表

2、征方式意味着善于找出对象的不同理解l 境界：眼前一亮境界：眼前一亮l 效果：易学易懂效果：易学易懂（先从两个理论说起）一、数学：信息加工与信息转换的技术 1.1.从从一幅画说起一幅画说起漫长的岁月 艰难的历程学会制造、使用工具，人类得以进化！学会制造、使用工具，人类得以进化！直立使用工具农业社会工业社会信息社会此前的工业社会，特点在机械化加工粮食、加工石油、加工木材、加工布料，车轮滚滚，马达隆隆，工厂的烟筒冒浓烟当代计算机，静悄悄的，加工的是符号！输入的是0，1序列，输出另一0，1序列在这0，1的转换中创造财富，推动社会进步！加工符号加工符号，这是根本区别！“处理符号”-信息化进程的特征。先人

3、不可能想象到，庞杂纷繁的世界，可以联通与融汇在一个网络上；先人何尝不想有那样的魔法，它把世界统一起来请看先人的幻想 2.2.笛卡儿之梦笛卡儿之梦 笛卡儿的幻想是将世界数学化，取消欧几里得古典几何中的没完没了的智巧，代之以自动化的方法。它引导人们感到，解析几何如同一台庞大的绞它引导人们感到，解析几何如同一台庞大的绞肉机肉机:你把问题从一头塞进去，然后只要摇动曲柄，你把问题从一头塞进去，然后只要摇动曲柄，就在另一头捧出了答案。就在另一头捧出了答案。如果真的是这样，世界真的被数学给完全统一起来了，那么笛卡儿确实作到了用自己的天才来减少对天才的需要。3.数学究竟是什么技术l数学直接的对象是模式数学直接

4、的对象是模式l模式是信息的载体模式是信息的载体l本质上是信息的加工和转换本质上是信息的加工和转换 l数学运演形式上是模式的变换数学运演形式上是模式的变换 u模式建构的 抽象性、丰富性、多样性、层次性u模式之间的互通性u模式建构方法的多样性和灵活性 本人相关文章张雄：Mathematics is a Sort of TechnologyAfrican Journal of Mathematics and Computer Science ResearchVol.5（5）:90-93,March,2012，Liberation，Nigeria 张雄张雄.数学：信息技工与转换的技术数学：信息技工与转

5、换的技术.自然辩证法研究自然辩证法研究.2000.8.2000.8（1616）形式和内容的关系 同一内容对应多种形式 同一本质对应多种理解角度 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 理解的越透彻 表征的越简单 二、F.Marton的现象图式学u鉴别依赖于对差异的认识。鉴别依赖于对差异的认识。u鉴别意味着主体依据自己先前的关于多鉴别意味着主体依据自己先前的关于多多少少有差异的对象的认知而以物质的、多少少有差异的对象的认知而以物质的、文化的或感觉的世界中辨认出、觉察到了文化的或感觉的世界中辨认出、觉察到了某个特征。某个特征。l主体所能同时经验到的关于对象的各个方面的变主体

6、所能同时经验到的关于对象的各个方面的变异的维数直接决定了可能的学习空间。即在各个情异的维数直接决定了可能的学习空间。即在各个情景下学生可能经验到什么样的变异应被看成对于学景下学生可能经验到什么样的变异应被看成对于学习活动的最大限制。习活动的最大限制。l教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面。认识对象的各个方面。l随着知识难度的增大，变式教学的本质内涵更趋于对随着知识难度的增大，变式教学的本质内涵更趋于对象的表征与理解。象的表征与理解。l变式教学在中小学变式教学在中小学l变式教学在大学？变式教学在大学？l现象图式学（变异理论）是中国

7、变式教学的理论基础现象图式学（变异理论）是中国变式教学的理论基础l大学教学有价值的研究是什么？脱离知识本质谈教法大学教学有价值的研究是什么？脱离知识本质谈教法是没有任何意义的。是没有任何意义的。l大学的教学研究要着力于知识的表征与理解大学的教学研究要着力于知识的表征与理解l卓越、精彩卓越、精彩=变换对象的表征与理解变换对象的表征与理解 三、学会变换对象 的表征和理解 只有能够深切了解数学真谛的教师，才能成为数学教育家。数学本来就是一种对偶体数学本来就是一种对偶体,事实事实-模模式的不断转化。式的不断转化。数学理解的三种境界数学理解的三种境界 :（1）（1）形式的理解形式的理解 （2）（2）形式

8、形式-内容的理解内容的理解 （3）（3）客观现实客观现实-数学形式数学形式（数学数学化化）-）-实际运用实际运用 案例1、方程的概念。案例2、一个排列组合恒等式证明:证法1.证法2.案例3、第三代微积分。第三代的微积分第三代的微积分（不用极限和无穷小能不能建立微积分？）不用极限和无穷小能不能建立微积分？）牛顿和莱布尼兹创建的微积分，是第一代的微积分。是说不清楚的微积分。创建牛顿和莱布尼兹创建的微积分，是第一代的微积分。创建者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚。微积分的原理虽然说不清楚，者说不清楚，使用微积分解决问题的数学家也说不清楚。微积分的原理虽然说不清楚，其应用仍然在蓬蓬勃勃地

9、发展。微积分就这样在说不清楚的情形下向前发展了其应用仍然在蓬蓬勃勃地发展。微积分就这样在说不清楚的情形下向前发展了130多年。多年。柯西和维尔斯特拉斯等，建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，这是第二柯西和维尔斯特拉斯等，建立了严谨的极限理论，巩固了微积分的基础，这是第二代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的，但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝代的微积分。第二代的微积分是说清楚了的，但是由于概念和推理繁琐迂回，对于绝大多数学习高等数学的学生来说，是听不明白的微积分。微积分就这样在多数学习者大多数学习高等数学的学生来说，是听不明白的微积分。微积分就这样在多数学习者听不明白的情形下，又发展了听

10、不明白的情形下，又发展了170多年，直到今天。多年，直到今天。第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分。人们希望微积分不但严谨，第三代的微积分，是正在创建发展的新一代的微积分。人们希望微积分不但严谨，而且直观易懂，简易明快。让学习者用较少的时和精力就能够明白其原理，不但知其而且直观易懂，简易明快。让学习者用较少的时和精力就能够明白其原理，不但知其然而且知其所以然。不但数学家说得清楚，而且非数学专业的多数学子也能听得明白。然而且知其所以然。第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同。不同的是对原理的说明，第一代微积分和第二代微积分，在具体计算方法上基本相同。不同的是对原理的说明，

11、前者说不清楚，后者说清楚了。前者说不清楚，后者说清楚了。第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同。不同的仍是对原理第三代微积分和前两代微积分，在具体计算方法上也没有不同。不同的仍是对原理的说明。的说明。有一条本质上不同于极限或无穷小的道路通向有一条本质上不同于极限或无穷小的道路通向微积分。微积分。为了说明这种新的思想方法，我们考虑一为了说明这种新的思想方法，我们考虑一个经典案例。个经典案例。例例.用用 表示直线上运动物体在表示直线上运动物体在 时时刻所走过的路程，刻所走过的路程，表示它在时刻的瞬时表示它在时刻的瞬时速度，则它在速度，则它在 时间区间时间区间 上的平均速度的上的平均速度的大小，应当在大小，应当在 上的某两个时刻的瞬时速度上的某两个时刻的瞬时速度之间之间.也就是说，有也就是说，有 上的上的 和和 ，使得下面的，使得下面的不等式成立：不等式成立：上式可用语言表达为上式可用语言表达为“函数的差商是的中间值函数的差商是的中间值”。结语 谢谢大家