1、w例例2.1 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度求解:注意:随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而随机过程的数字特征不是数,是一个关于时间的确定函数。2.1 随机过程X(t)的数学期望 对于某个给定时刻t,随机过程成为一个随机变量,因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机过程的数学期望。定义定义X(t)的数学期望的数学期望 式中,是X(t)的一维概率密度函数。又可称为X(t)的均值,这个均值函数可以理解为在某一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如图2.1所示。图2.1 随机过程的数学期望mX(t)显然由图2.1可看出,随机过程 X(t)就在 附近起伏变化,图中细线
2、表示样本函数,粗线表示均值函数。如果我们计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压,这个 就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值(又称集平均值)。2.2 随机过程的均匀方值与方差w对于某一固定的时刻,随机过程X(t)就成为一个随机变量,由此可给出随机过程均方值定义。定义随机过程X(t)的均方值:式中,的一维概率密度函数。定义随机过程的方差(又可称二阶中心矩):显然 是关于t的函数,且为非负函数。w定义随机过程的标准离差定义随机过程的标准离差:w注:随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏离均值的程度大小,如图2.2所示。图2.22.3 随机过程的自相关函数w随机过程的数学期望、方差描述了随机过
3、程在各个孤立时刻的重要数字特征值,但它们不能反映随机过程的内在联系,这一点可以通过下图的两个随机过程X(t)、Y(t)来说明。w对于这两个随机过程,从直观上讲,它们都具有大致相同的数学期望和方差,但两个过程的内部结构却有着非常明显的差别,其中X(t)随机时间变化缓慢,这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较强的相关性,而过程Y(t)的变化要急剧得多,其不同时刻的状态之间的相关性,显然很弱。怎样去研究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢?为此我们引入自相关函数(简称相关函数)来描述随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。w定义随机过程的自相关函数:定义随机过程的自相关函数:这就是随机过程X
4、(t)在两个不同时刻 的状态 之间的混合原点矩,自相关函数就反映了X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在定义式中取 ,则有 此时自相关函数即为均方值。式中,为过程X(t)的二维概率密度函数。例2.2 求随机相位正弦波过程 的均值、方差和自相关函数,其中 的概率密度为w解:解:当取定 是一个随机变量,且该随机变量X(t)显然是随机变量 的函数。由求随机变量函数的数学期望定理,有 又又当令当令,w例2.3 给定随机过程 ,式中 是常数,A和B是两个独立的正态随机变量,而且 ,试求X(t)的均值和自相关函数。解 ,且A,B独立 当取定t时,X(t)为随机变量有时为了描述随机过程在任意两个不
5、同时刻t1、t2间内在联系,我们还可以用协方差函数中心化自相关函数来定义。w定义协方差函数:定义协方差函数:称 为随机过程X(t)的协方差函数。由定义可知,当取 此时的协方差就是方差。w注意,实际上自相关函数 所描述的特性是几乎一致的。w性质性质2.1证 从上式分析可知,随机过程的协方差函数 与其自相关函数 只差一个统计平均值,特别当随机过程的任意时刻数学期望 时,二者完全相同。2.4 两个随机过程之间的互相关函数 随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的内在联系,而要描述两个过程在不同时刻 之间的相互关系,我们引入了互相关函数的定义。定义互相关函数定义互相关函数:称 为两个随机过程的互相
6、关函数。式中:为在两个不同时刻随机变量 、的联合概率密度函数。定义互协方差函数:称称 为两个随机过程的互协方差函数。为两个随机过程的互协方差函数。性质性质2.2 在上式中,若对任意 都有 则称X(t),Y(t)为正交过程,此时 在上式中,若 ,又称X(t),Y(t)互不相关;此时 推论:若两个随机独立,则它们必不相关。反之,两个随机过程不相关,还不能断言它们的相互独立。(除非是正态过程)。注:自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数,而不再是一个过程。习题二1.若随机过程X(t)为X(t)=At ,式中A为(0,1)上均匀分布的随机变量,求2.给定一随机过程X(t)和常数a,试以X(t)的相关函数表示随机过程的自相关函数3.已知随机过程X(t)的均值 和协方差函数 是普通函数,试求随机过程 是普通函数,试求随机过程 的均值和协方差函数。4.设 ,其中A,B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布 的随机变量,a为常数,试求X(t)的值与相关函数。
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