中科院课件--《现代信号处理的理论和方法》Chapter+3PPT资料.ppt

1、见胡广书现代信号处理教程图2.4.2Gabor展开：用展开系数表示出原信号的过程；Gabor变换：由信号求展开系数的过程。Gabor展开的关键是窗函数g（t）和辅助函数（t）的选择。临界采样Gabor展开与变换 Gabor变换：g（t）和（t）的关系完全重构公式：g（t）和（t）的关系对偶关系：Gabor变换与STFT的区别与联系：STFT的窗函数必须是窄窗，而Gabor变换的窗函数无此限制，可以将Gabor变换看成是一种加窗的傅立叶变换，它的适用范围比STFT适用范围更广泛；STFT（t,f）是信号的时频二维表示，Gabor变换系数相当于信号的时间移位-频率调制二维表示。3.4 小波变换引言

2、连续小波变换离散小波变换1、引 言 在80年代后期及90年代初期所发展起来的小波变换理论已形成了信号分析和信号处理的又一强大的工具。传统的傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换；加窗傅立叶变换是以固定的滑动窗对信号进行分析，随着窗函数的滑动，可以表征信号的局域频率特性。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解，运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。因此小波变换被誉为“数学显微镜”。短时傅立叶变换在时频平面各处的分辨率都相同，可以用时频平面的相等网格表示。注：见张贤达现代信号处理图6.5.1 小波基函数的包络随尺度参数的变化而变化，可以实现时频

3、平面的多分辨率分析。见张贤达现代信号处理图6.5.22、连续小波变换连续小波变换小波变换的特点连续小波变换的性质小波反变换及小波容许条件v 连续小波变换（CWT）连续小波变换的定义设x（t）是平方可积函数，记作，则x（t）的连续小波变换可以定义为：其中，a0被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移，（t）称为基小波或“母小波函数”，是母小波经移位和伸缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。定义式的说明：（1）基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为它是在高斯包络下的负指数函数。（2）时移b的作用是确定对x（t）分析的时间位置，即时间中心；（3）尺度因子a的作用是将基

4、小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。由此，小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基函数对信号进行分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同频率范围需不同分辨率这一基本要求。见胡广书现代信号处理教程图9.1.1（4）在ab前面所加的因子的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。设E=|（t）|2dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的ab（t）的能量为 连续小波变换的频率域表达式 在定义了连续小波变换后，对该表达式进行傅里叶变换,由Parseval定理 如果（）是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号S（）频

5、域上局部性质的能力。小波变换在对信号分析时有如下特点：当a变小时，对x（t）的时域观察范围变窄，但对X（）在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动。反之，当a 变大时，对x（t）的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。见胡广书现代信号处理教程图9.2.1n 小波变换的特点小波变换的特点 小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。采用不同的尺度a作处理时，各个（a）的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率带宽”为常数。当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细

6、致观察;当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。a取不同值时小波变换对信号分析的时频区间 注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.2注：见张贤达现代信号处理图6.5.3傅里叶变换的基函数是复正弦,这一基函数在频域有着最佳的定位功能，但在时域所对应的范围是，完全不具备定位功能,这是FT的一个严重的缺点。短时傅立叶变换中，只有窗函数的位移而无时间的伸缩，未进行分析窗的调整，不具备随分辨率变化而自动调节分析带宽的能力。200/20注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.3信号的“尺度图（scalogram）”定义如下，它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，不是

7、简单的随的能量分布。由于尺度a间接对应频率，故尺度图实质上也是一种时频分布。v 连续小波变换的性质1.线性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。即如果x（t）的连续小波变换是WTx（a,b），y（t）的连续小波变换是WTy（a,b），则 z（t）=k1x（t）+k2y（t）的 连 续 小 波 变 换 是k1WTx（a,b）+k2WTy（a,b）。2.平移不变性如果x（t）的连续小波变换是WTx（a,b），则y=x（t-t0）的连续小波变换是WTx（a,b-t0），也就是说，x（t）的时移t0对应于小波变换的b移位t0。3.伸缩共变性如果x（t）的连续小波变换是WTx（a,b），

8、则有的连续小波变换是当信号的时间轴按c作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。4.自相似性 对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。由于小波族是同一基小波经平移和伸缩获得的，而连续小波又具有不变性和伸缩共变性，故在不同（a,b）点的连续小波变换具有自相似性。5.交叉项的性质由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx（a,b）|2却有以下交叉项的表现：设x（t）=x1（t）+x2（t），则有其中 和 分别是 和的辐角。6.小波变换的内积定理 以基小波（t）分别对x1（t）和x

9、2（t）作小波变换。设x1（t）的连续小波变换是x2（t）的连续小波变换是其中则有式中该定理称之为小波变换的内积定理，也可看成是小波变换的Parseval定理。上式可以写为更加明确的形式，左边的内积是对a和b的双重积分，有如果令，可得 小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示形式。v 小波反变换及小波容许条件 1.容许条件 满足上式的容许条件，才能够由函数的小波变换WTx（a,b）反演出原函数x（t）。这时有 从上面的容许性条件我们也可以看到：并不是时域的任一满足平方绝对可积的函数都可以充当小波。其可以作为小波的

10、必要条件是其傅里叶变换满足该容许条件；能够用来作为基小波（t）的函数，最起码要满足（=0）=0。这说明（）必须具有带通性质；（t）必然是具有正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。作为小波函数所应具有的大致特征：即 是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。基小波函数 应满足一般窗函数的约束条件：要求基小波 的傅立叶变换满足以下稳定性条件：若 满足上述稳定性条件，则存在一个“对偶小波”，它的傅立叶变换由下式给出：2.小波变换的重建核（Reprodu

11、cingKernel）与重建核方程重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即a-b在半平面上的各个点的小波变换是相关的。设（a0,b0）是（a,b）平面上的任一点，（a,b）上的二维函数WTx（a,b）是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程：在（a0,b0）处的小波变换WTx（a0,b0）可以表示成半平面（aR+,bR）上其它各处WT值的总贡献。在上面的表达式中，可以看出,K是小波函数ab（t）与的内积，它反映的是两者的相关程度，称为重建核。由此，可以采用（a,b）平面上离散栅格上的来重建信号x（t），以消除重建过程中的信息冗余。3、离散小波变换（DW

12、T）n 存存在在问问题题：从连续小波变换的重建核方程的讨论中可以看到，对一维信号x（t）作小波变换的结果为二维的WTx（a,b），其信息是有冗余的。n解解决决方方法法：离散化尺度参数和平移参数，计算离散的位移和尺度下的小波变换值。变变换换尺尺度度的的离离散散化化：对尺度按照幂级数作离散化。即取a0,令尺度因子a只取a0 的整数幂，例如a 仅取,此时对应的小波函数为位移的离散化：位移的离散化：当j=0时，则。对b 的离散化，最简单方法是对其进行均匀采样，如。当时，将a由 变成 时，即是将a扩大了 倍，这时小波的中心频率比的中心频率下降了倍，带宽也下降了倍。由此，对b 的抽样间隔可以扩大倍，即当尺

13、度a取值时，对b的取样间隔可以为。由此可以得到记为 。由此，可以得到离散化小波变换j=0,1,2,;kZ Z称cj,k为离散小波变换系数，简称为小波系数。在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，b0=1，此时a取值为20,21,2j。此时，连续小波变换中的基函数ab（t）记为jk（t）,相应地，离散小波变换可表示为 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用小波分析：v标架理论非正交展开：利用单个非正交函数的平移与调制等基本运算构造非正交基函数，再用这些基函数对信号作级数展开。小波分析中使用非正交展开的优点：正交小波是相当复杂的函数；某些情况下适合相干态的正交基不存在；非正交展开可以得到高的数值稳定性。设是Hilbert空间H中的一组向量，如果存在常数A0和B，对任一信号，若使得成立，则称构成空间H中的一个标架。式中A，B称为标架界。如果A=B，则B/A=1，称构成了一个紧标架，此时若标架界则构成一正交基。标架算子：设是Hilbert空间H中的一个标架，定义标架算子S为即标架算子S将信号x映射为g。标架算子的性质：S是有界的，即AISBI，其中I是Hilbert空间中的恒等算子，