《高等代数》二次型PPT资料.ppt

1、式可以写成以下形式：（2）是（是（2）式右端的系数所构成的矩阵）式右端的系数所构成的矩阵,称称为二次型为二次型 的矩阵。因为的矩阵。因为 ,所以所以A是是F上的一个上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成）式可以写成（3）二次型（二次型（3）的秩指的就是矩阵）的秩指的就是矩阵A的秩。的秩。9.1.2 线性变换线性变换如果对二次型（如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：）的变量施行如下的一个变换：（4）那么就得到一个关于那么就得到一个关于 的二次型的二次型（4）式称为变量的线性变换，令）式称为变量的线性变换，令 是（是（4）的）的系数据构成的矩阵

2、，则（系数据构成的矩阵，则（4）可以写成）可以写成（5）将（将（5）代入（）代入（3）就得到）就得到（6）矩阵矩阵P称为线性变换（称为线性变换（4）的矩阵。如果）的矩阵。如果P是非奇异是非奇异的，就称（的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为）是一个非奇异线性变换。因为A是对是对称矩阵，所以称矩阵，所以 也是对称矩也是对称矩阵。阵。推论推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。换之下保持不变。注意注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立不成立 定理定理9.1.1 设设 是数域是数

3、域F上的一个以上的一个以A为矩阵为矩阵的的n元二次型。对它的变量施行一次以元二次型。对它的变量施行一次以P为矩为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 。对称性：如果对称性：如果B与与A合同，那么合同，那么A也与也与B合同，因为合同，因为由由 可以得出可以得出9.1.3 矩阵的合同矩阵的合同定义定义2 设设A，B是数域是数域F上的两个上的两个n 阶矩阵。如果存阶矩阵。如果存在在F上的一个非异矩阵上的一个非异矩阵P，使得，使得 那么称那么称B与与A合同。合同。矩阵的合同关系的性质：传递性：如果传递性：如果 B 与与 A 合同，合同，C 与与 B 合同，那么合同

4、，那么C 与与 A 合同。自反性：任意矩阵自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为都与自身合同，因为IAI=A事实上，由事实上，由 可得可得合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的称矩阵合同的矩阵仍是对称的.是数域是数域F上两个上两个n 元二次型，它们的元二次型，它们的矩阵分别为矩阵分别为A 和和 B.如果可以通过变量的非奇异线如果可以通过变量的非奇异线性变换将性变换将 ，则，则B与与A 合同合同.反之，设反之，设B与与A 合合同同.于是存在于是存在F上非奇异矩阵上非奇异矩阵P 使得使得 .通过通过以以P为矩阵的非奇异线性变换就将为矩阵

5、的非奇异线性变换就将 .F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个非奇异线性变换将其中一个变成另一个.定理定理9.1.3 数域数域F上两个二次型等价的必要且充分条上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩。定理定理9.1.4 是数域是数域F上的一个上的一个n阶对称矩阵。阶对称矩阵。总存在总存在F上一个上一个n阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵P，使得，使得即即F上的一个上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。同。证证 我们将利用矩阵的初等变换来证

6、明这个定我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下理。回忆一下5.25.2里所定义的三种初等矩阵里所定义的三种初等矩阵 容易看出，容易看出，现在对矩阵现在对矩阵A A的阶的阶n n作数学归纳法，作数学归纳法，n=n=1 1时定时定理显然成立。设理显然成立。设n 1n 1，并且假设对于，并且假设对于n n 1 1阶对阶对称矩阵来说，定理成立。称矩阵来说，定理成立。是一个是一个n n阶阶矩阵矩阵.如果如果A=OA=O，这时，这时A A本身就是对角形式。设本身就是对角形式。设 ,我们分两种情形来考虑我们分两种情形来考虑.（a）设设A的主对角线上元素不全为零，例如，的主对角线上元素不全为零，例如

7、，.如果如果i 1，那么交换，那么交换A的第的第1列与第列与第I 列，再交换第列，再交换第1行与第行与第i行，就可以把行，就可以把 换到左上角。这样就相当换到左上角。这样就相当于初等矩阵于初等矩阵 ,再用再用 .于是于是 的左上角的元素的左上角的元素不等于零不等于零.因此，我们不妨设因此，我们不妨设 ，用，用 乘乘 j 行，就可以把第一行第行，就可以把第一行第 j 列和第列和第 j 行第行第1列位置的列位置的元素变成零。元素变成零。A的第的第1列加到第列加到第 j 列，再用列，再用 乘第乘第1行加到第行加到第这相当于用这相当于用 右乘右乘A，用，用 左乘左乘A。这样，总可以选取初等矩阵。这样，

8、总可以选取初等矩阵 ,使得使得 这里这里 是一个是一个n 1阶的对称矩阵。阶的对称矩阵。由归纳法假设，存在由归纳法假设，存在n 1阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 取取那么那么 这里这里 。（b）如果如果 .由于由于AO，所以一定有，所以一定有某一个元素某一个元素 .把把A的第的第 j 列加到第列加到第 i列列,再把第再把第 j 行加到第行加到第 i行行,这相当于初等矩阵这相当于初等矩阵 右乘右乘A.再用再用 左乘左乘A.而经过这样的而经过这样的变换后所得到的矩阵第变换后所得到的矩阵第 i行第行第 j 列的元素是列的元素是 .于是由情形（于是由情形（b）就归结到情形（）就归结到情形（a）.注意注

9、意 在定理在定理 9.1.2的主对角形矩阵的主对角形矩阵 中，主对角中，主对角线上的元素线上的元素 的一部分甚至全部可以是零。的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的显然，不为零的 的个数等于的个数等于A的秩，如果秩的秩，如果秩A等等于于r 0，那么由定理的证明过程可以知，那么由定理的证明过程可以知给了数域给了数域 F 上一个上一个n 阶对称矩阵阶对称矩阵A，由定理由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵个可逆矩阵P，使，使 有对角形式，只要在对有对角形式，只要在对A施施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对行一对列初等变换和

10、行初等变换的同时，仅对n阶阶单位矩阵单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当施行同样的列初等变换，那么当A化为化为对角形式时，对角形式时，I 就化为就化为P。例例1 设设 我们按定理我们按定理9.1.2所给出的方法对所给出的方法对A施行行和列施行行和列初等变换，将初等变换，将A变成，使得是一个对变成，使得是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵角形矩阵。同时对单位矩阵，施行同样的初等变，施行同样的初等变换而得出换而得出P。交换交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换时交换 的第一列和第二列。这时的第一列和第二列。这时A和和 分别化为：分别化为：把把 的第一列乘

11、以的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同时把加到第三行，同时把 的第一列乘以的第一列乘以2加到第三列。加到第三列。分别得到：把把 的第四列加到第二列，第四行加到第二行，的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同时把同时把 和第四列加到第二列，得和第四列加到第二列，得以以 2/3 和和 1/2 乘乘 的第二列依次回到第三列的第二列依次回到第三列和第四列上和第四列上,再以再以 2/3 和和1/2 乘第二行依次加到乘第二行依次加到第三行和第四行上，同时对第三行和第四行上，同时对 的列施行同样的初的列施行同样的初等变换。得等变换。得最后，以最后，以 3/4 乘乘 的第

12、三列加到第四列上的第三列加到第四列上,再再以以3/4 乘第三行加到第四行上，并且对乘第三行加到第四行上，并且对 的列施的列施行同样的初等变换，我们得到行同样的初等变换，我们得到 取取 。于是。于是9.1.4 二次型的标准形二次型的标准形定理定理9.1.5 数域数域F上每一个上每一个n元二次型元二次型 可以通过变量的非奇异线性变换化为：可以通过变量的非奇异线性变换化为：例如，以例例如，以例 1 中对称矩阵中对称矩阵A为矩阵的二次型是为矩阵的二次型是 通过变量的非奇异线性变换通过变量的非奇异线性变换 化为化为 练习练习1 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵 练习练习2 写出对应下列方阵的二次

13、型写出对应下列方阵的二次型 例例2 分别用配方法和合同变换法化二次型分别用配方法和合同变换法化二次型 成标准形成标准形.（读者答题）读者答题）练习练习3 已知二次型已知二次型 试对它作如下非奇异线性变换试对它作如下非奇异线性变换9.2 复数域和实数域上的二次型复数域和实数域上的二次型 一一.内容分布内容分布 9.2.1 复二次型的典范形复二次型的典范形 9.2.2 实二次型的典范形实二次型的典范形二二.教学目的教学目的 1掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次实二次 型的惯性指标型的惯性指标.、符号差等概念。、符号差等概念。2掌握实二次型的惯性定

14、律掌握实二次型的惯性定律.三三.重点、难点重点、难点：实二次型的惯性定律实二次型的惯性定律.复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型和实二次型.9.2.1 复二次型的典范形复二次型的典范形 定理定理9.2.1 复数域上两个复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩的充分且必要条件是它们有相同的秩.证证 显然只要证明第一个论断显然只要证明第一个论断.条件的必要性是明显的条件的必要性是明显的.我们只要证条件的充我们只要证条件的充分性分性.设设A，B是复数域上两个是复数域上两个n阶对称矩阵，且阶对称矩阵，且A与与B有相同的秩有相同的秩r，由定理，由定理9.1.2，分别存在复可逆，分别存在复可逆