理论力学10弯曲的应力分析和强度计算_精品文档PPT文档格式.ppt

1、当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正，反之为负。,弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。,10,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的内力符号是否和坐标系有关？,答：无关。,如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？,A,0,0,E,B,C,F,P D,X C=P cos,答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。,11,例,1,如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求-，-截面上的剪力和弯矩。,解,1、支座约束力,M,M,B,=0,+RA 4 P 2 q 2 1=0,A,=0,P 2 RB 4+q 2 5=0,RA=1.5kN,RB=7.5kN,12,例,1,2、计算内力,F=0

2、 MC=0,y,1,RA Q1=0,RA 1 M 1=0,M 1=1.5kN m,Q1=1.5kN,F,x,=0,C2,Q2 q 1=0,M,=0 M 2+q 1 0.5=0,Q2=2kN,M 2=1kN m,13,弯曲的应力分析和强度计算,三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图,设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数,Q=Q（x）,-剪力方程,M=M（x）,-弯矩方程,梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。,14,例,2,如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

3、,解 1、求支座约束力,laRA=P l,aRB=P l,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,laQ（x1）=RA=P l,（0 x1 a）,M（x1）,laM（x1）=RA x1=Px1（0 x1 a）l,Q（x1）,15,例,BC段,2,aQ（x2）=RB=P l,（a x2 l）,Q（x2）,RB,aM（x2）=RB（l x2）=P（l x2）l,（a x2 l）,3、画剪力图和弯矩图,la P l,M（x2）,a（l a）P l,a Pl,16,例,3,m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l，=3Pl 2试绘剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,Fy=0,RA P=0,3Pl P

4、l mA=0 MA=0 2 Pl RA=P m A=2,2、确定剪力、弯矩方程,AC段,l（0 x1）Q（x1）=RA=P 2 l Pl（0 x1）M（x1）=RA x1+mA=Px 1+22,17,例,CB段,3,Q（x2）=P,l（x2 l）2,M（x2）=P（l x2）,l（x2 l）2,3、画剪力图和弯矩图,18,例,4,如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,qlRA=RB=2,2、确定剪力方程和弯矩方程,qlQ（x）=qx 2,（0 x 1）l,2,qlqxM（x）=x 22,（0 x l）,19,3、画剪力图和弯矩图,弯曲的应力分析和强度计算,四

5、、外力与剪力及弯矩间的关系,1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系,设载荷集度是x的连续函数,q=q（x）,规定：向上为正,F,y,=0,Q（x）Q（x）+dQ（x）+q（x）dx=0,dQ（x）=q（x）dx,20,弯曲的应力分析和强度计算,dx M c=0 M（x）+dM（x）M（x）Q（x）dx q（x）dx=0 2,dM（x）=Q（x）dx,2,d M（x）=q（x）2 dx,2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩,F,y,=0,Q=P,集中力（包括支座约束力）作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变，且突变值等于集中力的值,21,弯曲的应力分析和强度计算,工程实际中，所谓的集中力不可能集中

6、于一点，而是分布在很小的范围内,MC=0,M=M,M,在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩数值发生突变，且突变值的大小等于集中力偶的值。,22,弯曲的应力分析和强度计算,3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系,q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将为水平线，而M图则为斜线。M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。当Q等于零时，M取极值。集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变值等于集中力偶的值。,23,例,

7、5,2,m 如图所示外伸梁，已知：q，l，P=ql 3，=ql试画出剪力图和弯矩图。,6。,解 1、求支座约束力,M,c,=0,2,l 3l qlql lR Al q+=0 2 463 2 2 l l qlql 3l RC l+=0q MA=0 24 63 2,3RA=ql 8,11RC=ql 24,2、分段,分为AB，BC，CD三段,24,例,5,3RA=ql 8,11RC=ql 24,3、求端值利用直接法计算各段左、右两端截面上的剪力和弯矩,25,例,5,4、画剪力图和弯矩图,26,弯曲的应力分析和强度计算,五、用叠加法作剪力图和弯矩图,P=ql,当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不

8、相关，因此可以分别计算各外力所引起的内力，然后进行叠加-叠加法,27,弯曲的应力分析和强度计算,10-2,纯弯曲梁横截面上的正应力分析,梁弯曲时，横截面上一般有两种内力-剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。,梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,28,弯曲的应力分析和强度计算,一、纯弯曲梁的正应力,1、变形方面,实验观察：纵向线在梁变形后变成弧线，靠顶面的线缩短，靠底面的线伸长。横向线在梁变形后仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍然与弯曲的纵向线保持正交。,平面假设：纯弯曲梁是由无数条纵向线所组成，变形前处于同一平面的各纵向线上的点，弯曲变形后仍处于同一平面内，且纵向线与

9、横截面在变形中保持正交。,29,弯曲的应力分析和强度计算,根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。,30,弯曲的应力分析和强度计算,a,a,dxdx,线应变随y按线性规律变化,l,31,弯曲的应力分析和强度计算,2、物理方程,假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等。M,Z,=,y,胡克定律,=E,=E,y,C,min z,y,x max,纯弯曲时的正应力

10、按线性规律变化，横截面中性轴的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。,32,弯曲的应力分析和强度计算,3、静力学条件,=E,y,F,A,x,=0,dA=FN=0,A dA=A E,y,A ydA=0,dA=,E,A ydA=0,截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。,中性轴通过截面的形心。,33,弯曲的应力分析和强度计算,M,z,=0,y,M=ydA,A,=E,y,M=A yE,1,dA=,E,A y dA,2,M=EI xz,My=0,A z dA=,E,A z dA=0,A zydA=0,横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故

11、惯性积为零。34,弯曲的应力分析和强度计算,M=EI xz,1,=E,y,M=ymax IZ,M=y IZ,-纯弯曲梁横截面正应力计算公式,横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。,max,max,M=WZ,IZWZ=ymax,弯曲截面系数,35,弯曲的应力分析和强度计算,二、惯性矩,常见截面的 IZ 和 WZ,64 3 dWZ=32,圆截面,bhIZ=12,3,IZ=,d,4,IZ=,D,4,64,（1）,4,WZ=,空心圆截面,D,3,32,（1）,4,3,3,bhWZ=6,矩形截面,2,b0 h0 bh IZ=1212 3 3 b0 h0 bhWZ=（）/（h0/2）1212,36,空

12、心矩形截面,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的截面形状如图所示，在平面内作用有正弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？,z,a,b,y,c,37,弯曲的应力分析和强度计算,有一直径为的钢丝，绕在直径为的圆筒上，钢丝仍处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？,M=EI xz,1,D+d=2,2 EI zM=D+d,max,d M 2=Iz,max,Ed=D+d,38,例,6,受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩M=1kN m，外径 D=50mm，内径d=25mm。试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点直径线和过c，d两点弦

13、线上各点的应力分布情况。,39,例,解,6,M=1kN m,M=y IZ,Dya=25mm 2 dyb=12.5mm 2 22 122 1 D d 250 25 2）=21.7 mmyc=（）=（4444,yd=0,IZ=,64,（D d）=,4,4,64,（50 25）（10）=2.88 10 m,4,4,3 4,7,4,40,例,6,3,M1 10 3ya=25 10=86.8MPaa=7 IZ 2.88 10,M110 3b=yb=12.5 10=43.4 MPa 7 IZ 2.88 10,3,M1 10 3yc=21.7 10=75.3MPac=7 IZ 2.88 10,3,M yd=

14、0d=IZ,a,c,d=0,b,41,弯曲的应力分析和强度计算,10-3,纯弯曲应力公式的应用,横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距。,对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。,对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。,曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。42,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力分布,My=IZ,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,横截面惯性积 Iyz=0,弹性

15、变形阶段,43,例,7,T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。,解,绘制弯矩图，得 M B=10kN m M C=7.5kN m确定截面的形心,120 10（125）+120 10（60）y=92.5mm 120 10+120 10,44,例,7,3,3,120 1010 120 2+120 10 32.5+Iz=1212 264+120 10 32.5=3.99 10 mm,B截面的最大拉应力,Bt=,MB,Iz,ymax,10 10 3=37.5 10=93.9 MPa 63 43.99 10（10）,3,C截面的最大拉应力,7.5 10 3 Ct=92.5 10=173.9 MPaymax=63 43.99 10（10）Iz 45 梁的最大拉应力发生在C截