拉普拉斯变换与Z变换及信号系统的复频域分析_精品文档优质PPT.pptx

1、记为：讨论：即拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。,大连理工大学,8,2022/11/2,大连理工大学,9,（2）根据定义的计算【例3.1】已知：【解】,大连理工大学,9,2022/11/2,大连理工大学,10,【例3.2】已知：【解】,大连理工大学,10,2022/11/2,大连理工大学,11,（3）拉普拉斯变换的收敛域收敛域（ROC）：是能够使拉普拉斯变换收敛的s的取值范围。,ROC：,大连理工大学,11,3.2.2 拉普拉斯变换收敛域的性质,性质3.1：的ROC由s平面上平行于 轴的带状区域组成。性质3.2：对有理Laplace变换来说，ROC内不包括极点。性质3.3：若 是有限时宽的，且绝对

2、可积，则ROC为整个s平面。性质3.4：有理拉普拉斯变换的ROC由极点界定，或延伸到无穷。性质3.5：有理右边信号的ROC位于最右边极点的右边，有理左边信号的ROC位于最左边极点的左边。,大连理工大学,12,收敛域性质补充,性质A1：若 为右边信号，且若 位于ROC内，则 的全部s值一定在ROC内。性质A2：若 为左边信号，且若 位于ROC内，则 的全部s值一定在ROC内。,大连理工大学,13,2022/11/2,大连理工大学,14,拉普拉斯变换计算举例【例3.3】,大连理工大学,14,3.2.3 拉普拉斯逆变换,拉普拉斯逆变换式,大连理工大学,15,2022/11/2,大连理工大学,16,（

3、1）拉普拉斯逆变换的部分分式法适用范围：有理分式拉普拉斯变换式基本方法：将拉普拉斯变换式进行部分分式展开：上式中的每一项均为一阶系统，每一项均有两种可能：若ROC位于极点 的右边，则：若ROC位于极点 的左边，则：,大连理工大学,16,2022/11/2,大连理工大学,17,计算举例【例3.4】已知：，求。【解】部分分式分解：求出由于收敛域在极点右边，故为右边信号：,大连理工大学,17,2022/11/2,大连理工大学,18,【例3.4-1】已知：因ROC在极点左边，故为左边信号。反变换得：,大连理工大学,18,2022/11/2,大连理工大学,19,【例3.4-2】已知：因ROC在第一项极点

4、的左边，故该项为左边信号。因ROC在第二项极点的右边，故该项为右边信号。,大连理工大学,19,2022/11/2,大连理工大学,20,【例3.5】,大连理工大学,20,2022/11/2,大连理工大学,21,（2）拉普拉斯逆变换的留数法对于因果信号，由复变函数中的留数定理，有上式左边的曲线积分是在s平面内沿一不通过 极点的闭合曲线（称为围线）上进行的。右边表示围线中 各极点上留数之和。要利用留数定理来计算拉普拉斯逆变换，需要在上式的积分线上补充一条积分路径以构成一条封闭曲线。,大连理工大学,21,2022/11/2,大连理工大学,22,留数法的应用设 为有理函数，则：一阶极点 的留数为：k阶极

5、点的留数为：留数法除了可以处理有理拉普拉斯变换式之外，还可以处理无理拉普拉斯变换式，因此适用范围更广。,大连理工大学,22,2022/11/2,大连理工大学,23,【例3.6】,大连理工大学,23,2022/11/2,大连理工大学,24,【线性性质】若：则：【时移性质】若：,3.2.4 拉普拉斯变换的性质,大连理工大学,24,2022/11/2,大连理工大学,25,【频移性质】若：【时域尺度变换】若：,大连理工大学,25,2022/11/2,大连理工大学,26,【共轭性质】若：若：，则【卷积性质】若：,大连理工大学,26,2022/11/2,大连理工大学,27,【时域微分性质】若：【频域微分性

6、质】若：,大连理工大学,27,2022/11/2,大连理工大学,28,【时域积分性质】若：【初值定理与终值定理】对于因果信号，若：则初值定理：终值定理：,大连理工大学,28,2022/11/2,大连理工大学,29,计算举例【例5.6】已知：【解】解得：利用初值定理检验求解是否有误。由初值定理：另一方面，二者相同，未发现错误。,大连理工大学,29,2022/11/2,大连理工大学,30,拉普拉斯变换性质清单,大连理工大学,30,2022/11/2,大连理工大学,31,常用拉普拉斯变换对,大连理工大学,31,2022/11/2,大连理工大学,32,常用拉普拉斯变换对（续）,大连理工大学,32,20

7、22/11/2,大连理工大学,33,3.3 连续时间信号与系统的复频域分析,大连理工大学,33,2022/11/2,大连理工大学,34,拉普拉斯变换与傅里叶变换的比较拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，或者说傅里叶变换是拉普拉斯变换当 的特例；傅里叶变换比较适合分析信号与系统的频率特性；拉普拉斯变换除了可以用于分析信号与系统频率方面的问题外，更多的是用于求解线性系统时域微分方程，对系统进行因果性和稳定性分析，并且更方便地将信号与系统用方框图或信号流图的方式表示出来。本节重点介绍拉普拉斯变换用于LTI系统的分析问题，同时简单介绍单边拉普拉斯变换（unilateral Laplace transfor

8、m）及其应用。,大连理工大学,34,3.3.1 微分方程的拉氏变换与系统函数,LTI系统用线性常系数微分方程来表示：系统函数定义为：,大连理工大学,35,2022/11/2,大连理工大学,36,系统函数的含义一个由线性常系数微分方程所表示的系统，其系统函数总是有理的。此外：第一，系统的零点和极点可以分别通过令上式的分子为0和分母为0而得到。由系统的零点和极点以及系统的ROC，可以进一步分析系统的因果性、稳定性等性质。第二，上式反映了LTI系统输入信号、输出信号与系统函数的关系。由上式，可以得到：第三，如果在 中令（或令），则可以得到系统的频率响应（或称为传递函数），并可以由此进一步分析系统的频

9、率特性。,大连理工大学,36,2022/11/2,大连理工大学,37,【例3.8】,大连理工大学,37,3.3.2 LTI系统的因果性和稳定性分析,（1）LTI系统的因果性判定性质3.6（必要条件）一个因果系统的系统函数 的ROC是某个右半s平面。需要注意的是，性质3.6的相反结论是不一定成立的。即位于最右边极点右边的ROC并不能充分保证系统的因果性。性质3.7（充分必要条件）若系统函数 是有理的，则系统的因果性等效于ROC位于最右边极点的右边的右半s平面。,大连理工大学,38,2022/11/2,大连理工大学,39,【例3.9】,大连理工大学,39,2022/11/2,大连理工大学,40,（

10、2）系统稳定性判定性质3.8 当且仅当系统函数 的ROC包含 轴时，则该LTI系统是稳定的。性质3.9 当且仅当 的全部极点都位于左半s平面时，则有理因果系统 是稳定的。,大连理工大学,40,2022/11/2,大连理工大学,41,【例3.10】,大连理工大学,41,3.3.3 单边拉普拉斯变换及其应用,定义式中，表示单边拉普拉斯变换；积分下限 表示在积分区间中包括位于 时刻的任何冲激信号或高阶奇异信号。由于单边拉普拉斯变换总是对 的区间进行信号积分，因此其ROC总是对应于某个右半s平面。,大连理工大学,42,2022/11/2,大连理工大学,43,【例3.11】,大连理工大学,43,2022

11、/11/2,大连理工大学,44,单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的主要性质与双边拉普拉斯变换的基本相同，例如线性性质、s域平移性质、时域尺度变换性质、共轭和s域微分等，初值定理域终值定理也成立。但时域微分和时域积分等性质是不同的。,大连理工大学,44,大连理工大学,45,3.4 z-变换,2022/11/2,大连理工大学,46,z变换的概念z变换（z-transform）是对离散时间信号或系统进行的一种数学变换。它在离散时间信号与系统中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的地位。z变换是分析线性时不变系统的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有广泛的应用。,大连理工大

12、学,46,2022/11/2,大连理工大学,47,定义：即z变换是DTFT的推广；DTFT是单位圆上的z变换：,大连理工大学,47,3.4.1 z变换的定义,2022/11/2,大连理工大学,48,z 变换的收敛域问题存在一个 z 的取值范围，在此范围内，z 变换收敛。称此范围为收敛域（ROC）。若ROC内包含单位圆，则DTFT也收敛（存在）。,大连理工大学,48,2022/11/2,大连理工大学,49,计算举例【例3.14】已知：，求其 z 变换。【解】由定义，有：为使 收敛，要求：这样：,大连理工大学,49,2022/11/2,大连理工大学,50,讨论上页结果可以用零极点表示为：（1）若，

13、则（2）若，则其零极图为：（3）若，则ROC不包含单位圆。这样，的DTFT不收敛（ROC不含单位圆）。,大连理工大学,50,2022/11/2,大连理工大学,51,【例3.15】已知：若，则：比较【例3.14】和【例3.15】，两者 z 变换的表达式相同，但ROC不同。z 变换表达式必须写明ROC。,大连理工大学,51,2022/11/2,大连理工大学,52,【例3.15A】已知：收敛域：,大连理工大学,52,2022/11/2,大连理工大学,53,上例【例3.15A】的收敛域图形,大连理工大学,53,2022/11/2,大连理工大学,54,【例3.15B】已知：求其 z 变换。,大连理工大学,54,2022/11/2,大连理工大学,55,ROC是在z平面内的原点为中心的环。ROC内不包含任何极点。若 是有限长的，则ROC为整个z平面。若 为右边序列，且若 位于ROC内，则 的全部有限z值一定在ROC内。若 为左边序列，且若 位于ROC内，则 的全部有限z值一定在ROC内。若 为双边序列，且若 位于ROC内，则该ROC一定由包括 的圆环组成。有理z变换：若左边序列，ROC位于最里边极点的里边，若右边序列，ROC位于最外边极点的外边。,大连理工大学,55,3.4.2 z变换收敛域的性质,2022/11/2,大连理工大学