马尔科夫预测法_精品文档PPT文档格式.ppt

1、客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。,用状态变量来表示状态：它表示随机运动系统，在时刻 所处的状态为状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。由于产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。,二、状态转移概率客观事物可能有 共 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有 个转向（包括转向自身），即。由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态

2、转移概率。,概率论中的条件概率：P（AB）就表达了由状态 B 向状态 A 转移的概率，简称为状态转移概率。对于由状态 Ei 转移到状态Ej 的概率，称它为从 i 到 j 的转移概率。记为：它表示由状态Ei 经过一步转移到状态Ej 的概率。,某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 年 5 月份有 500 户是甲厂的顾客；400 户是乙厂的顾客；100 户是丙厂的顾客。6 月份，甲厂有400 户原来的顾客，上月的顾客有 50 户转乙厂，50 户转丙厂；乙厂有 300 户原来的顾客，上月的顾客有

3、20 户转甲厂，80 户转丙厂；丙厂有 80 户原来的顾客，上月的顾客有 10 户转甲厂，10 户转乙厂。计算其状态转移概率。,例：,解：由题意得 6 月份顾客转移表 1：,从,到,表 1,例：,三、状态转移概率矩阵将事件 个状态的转移概率依次排列起来，就构成一个 N行N 列的矩阵，这种矩阵就是状态转移概率矩阵。通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。转移概率矩阵的特征?,基本概念,状态转移概率矩阵具有如下特征：（1）（2）,三、状态转移概率矩阵及其基本特征,状态转移概率的估算主观概率法（一般缺乏历史统计资料或资料不全情

4、况下使用）统计估算法。,例 设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。,用“1”表示畅销用“2”表示滞销,共24个季度数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，现分别统计出:连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：?分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。,2个状态:“1”畅销“2”滞销,以 p12 表示由畅销转入滞销的可能性：分子 7 是表中由畅销转入滞销的次数。以 p21 表示由滞销转入畅销的可能性：分子 7 是表中由

5、滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出现滞销的次数。“1”畅销“2”滞销,以 p22 表示连续滞销的可能性：分子 2 是表中连续出现滞销的次数。综上所述，得销售状态转移概率矩阵为：,状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。正如前面所指出的，上述矩阵为一步转移概率矩阵。对于多步转移概率矩阵，可按如下定义解释。定义 3.若系统在时刻 处于状态，经过 步转移，在时刻 处于状态。那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 步转移概率。记为:并令,三、多步状态转移概率矩阵,称 为 步转移概率矩阵。多步转移概率矩阵，除具有一步转移概率矩阵的性质外，还具有以下的性质：某经济系统有三种状态（如畅销、一般

6、、滞销），系统地转移情况见下表，试求系统的二步状态转移概率矩阵。解：首先是写出一步状态转移,二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵通过公式?计算求出:,由一步转移概率矩阵求出，由公式 计算得：,记 为过程的开始时刻，则称：为初始状态概率向量。已知马尔科夫链的转移矩阵 以及初始状态概率向量，则任一时刻的状态概率分布也就确定了：对 k1，记 则由全概率公式有：,四、初始状态概率向量,若记向量，则上式可写为：由此可得,四、初始状态概率向量,例：一台机床的运行状态,机床运行存在正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床运行看作一个随时间变化的随机系统。机床以后的状态只与其以前的状态有关，而与

7、过去的状态无关（有无后效性）。因此，机床的运行可看作马尔科夫链。如机床运行过程中出现故障，表示为从状态 1 转移到状态 2；处于故障状态的机床经维修恢复到正常状态即从状态 2 转移到状态1。现以1个月为时间单位，经统计知：从某月到下月机床出现故障的概率为0.2，即 p12=0.2。保持正常状态的概率为为 p11=0.8。在这一时间，故障机床经维修返回正常状态的概率为 0.9，即 p21=0.9；不能修好的概率为 p22=0.1。,机床状态转移图,由机床的一步转移概率得：状态转移概率矩阵：,若已知本月机床的状态向量 P（0）=（0.85，0.15），要求预测机床两个月后的状态。,问题：知本月状态

8、向量 P（0）=（0.85，0.15），预测两月后的状态。求出两步转移概率矩阵 预测：两个月后的状态向量,5.2 稳态概率矩阵:平稳分布与稳态分布,在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。现在需要研究当 k 不断增大时，P（k）的变化趋势。一、平稳分布 预备定义:如存在非零向量X=（x1，x2，xN），使得：X P=X 其中P为一概率矩阵，则称 X 为 P 的固定概率向量。,一、平稳分布,如存在非零向量 X=（x1，x2，xN），使得：X P=X 其中：P为一概率矩阵 则称 X 为 P 的固定概率向量。特别地，设 X=（x1，x2，xN）为

9、一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵，若 X P=X即：称 X 为该马尔可夫链的一个平稳分布 性质？,若随机过程某时刻的状态概率向量 P（k）为平稳分布，则称过程处于平衡状态。（X P=X）一旦过程处于平衡状态，则经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。正规概率矩阵？,定义1：如果 P 为概率矩阵，且存在 m0，使 Pm 中诸元素皆非负非零。则称 P 为正规概率矩阵。例如：均为正规概率矩阵。P1为正规概率矩阵是明

10、显的（m=1）P2是正规概率矩阵也也易于论证：即存在（m=2），使 P2 的元素皆非负非零。,是非正规概率矩阵。正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各市场主体丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。甲乙丙三个食品厂顾客的 32 步转移概率。,二、稳态分布,可以看到每一列都有相同的值。这说明不管初始状态三个食品厂占有多少顾客，经过32月之后处于状态 j 的概率都是相同的。即：经过多次转移之后，系统存在一个处于状态 j 的有限概率，此概率与系统原始状态无关。,二、稳态分布,对概率向量=（1，2，N），如对任意的 i，

11、jS：则称 为稳态分布。此时，不管初始状态概率向量如何，均有，或这也是称 为稳态分布的理由。性质？,设存在稳态分布=（1，2，N），则由于下式恒成立：令k就得A：即有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么它也是平稳分布。B：当马尔科夫链的状态转移概率矩阵为正规概率矩阵时稳态分布存在，且稳态分布和平稳分布相同且均唯一。设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其平稳分布及稳态分布。（1）P 是正规概率矩阵,即存在（m=2），使 P2 的元素皆非负非零。,（2）由于 P 是正规概率矩阵，求解如下方程组：,这就是该马尔可夫链的稳态分布，而且也是平稳分布。,5.3 马尔可夫链预测法,马尔可夫链预测方法的最简

12、单类型是预测下期最可能出现的状态。步骤：第一步：划分预测对象所出现的状态。从预测目的出发，考虑决策需要来划分现象所处的状态。第二步：计算初始概率。据实际问题分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。第三步：计算状态转移概率第四步：根据转移概率进行预测 由状态转移概率矩阵 P：如果目前预测对象处于状态Ei，这时 Pij 就描述了目前状态 Ei 在未来将转向状态 Ej（j=1，2，N）的可能性。按最大可能性作为选择原则：选择（Pj1，Pj2，PjN）中最大者为预测结果。某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下：,试预测第 21 期商品销售量。1、划分状态：按盈利状况为标准（1）销售量60千件 属

13、于滞销（2）60千件销售量100千件 属于一般（3）销售量100千件 属于畅销,2、计算初始概率 Pi 为使问题更为直观，绘制销售量散点图如下，并画出状态分界线。由图可算出处于：滞销状态的有：M1=7一般状态的有：M2=5畅销状态的有：M3=8,3、计算初始转移概率矩阵 计算状态转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。M11=3，M12=4，M13=0，M21=1，M22=1，M23=3，M31=2，M32=0，M33=5从而：P11=3/7，P12=4/7，P13=0/7，P21=1/5，P22=1/5，P23=3/5，P31=2/7，P32=0/7，P33=5/

14、7,滞销状态：M1=7一般状态：M2=5畅销状态：M3=8-1,4、预测第21月的销售情况 由于第20月的销售情况属于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率是：P31=2/7，P32=0/7，P33=5/7 P33 P32 P31 因此，第21月超过100千件的可能性最大。即预测第21月的销售状态是“畅销”。,5.4 马尔可夫链的应用,一、市场占有率例：东南亚各国行销上海、日本和香港三种味精，要预测在未来若干个月以后的市场占有情况。具体步骤3：进行市场调查、目前市场占有情况（顾客买沪、日、港味精的的百分比）。结果：上海味精的占40%、买日、港的各占30%，（40%、30%、30%）称为目前市场的占有分布或称初始分布。2、查清顾客的流动情况。上月买上海味精的顾客，本月仍有40%，各有30%转向买本和港味精。上月买日本味精顾客，本月有60%转向买上海味精，30%仍买日本味精，10%转向香港味精。上月买香港味精的顾客，本月有60%转向买上海味精，10%转向买日本味精，30%仍买香港味精。,第二步：建立数学模型 为运算方便，以1、2、3分别代表上海、日本、香港味精，根据市场调查的结果，得到顾客购买味精的流动情况表。进行预测 设初始市场占有的分布是（p1，p2，p3）=（0.4，0.3，0.3），三个月以后的市场占有分布是（p1（3），p2（3），p3（3），则预测的公式是