1、,我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法、超松弛迭代法,研究它们的收敛性。,例1 求解线性方程组,记为Ax=b,即,精确解x*=(3,2,1)T.,改写(1.2)为,或写为x=B0 x+f,即,任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1)=(2.5,3,3)T.,反复迭代,即 x(k+1)=B0 x(k)+f,(k=0,1,2,),2 基本迭代法,考虑线性方程组,也就是 Ax=b.(2.1),进行矩阵分裂 A=M-N,(2.2),其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.,于是,Ax=bx=M-1Nx+M-1b.,可得一阶定常迭代法:,一、雅可
2、比迭代法,可以得到计算公式(雅可比迭代法):对k=0,1,二、高斯塞德尔迭代法,还可得到迭代计算公式:对k=0,1,称为高斯塞德尔迭代法.,例2 求解线性方程组(1.2),取初值x(0)=(0,0,0)T,高斯塞德尔迭代法又等价于:对k=0,1,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,三、逐次超松驰(SOR)迭代法,说明:1)=1,GS;2)运算量;3)1超松驰,1低松驰;,4)控制迭代终止的条件:,例3 用上述迭代法解线性代数方程组,初值x(0)=0,写出计算格式。,P242.,作业:P259,2.,3 迭代法的收敛性分析,一、一阶定常迭代法的基本定理,1)Jacobi:BJ=D-1(L+U)
3、,fJ=D-1b;2)Gauss-Seidel:BG=(D-L)-1U,fG=(D-L)-1b;3)SOR:BSOR=(D-wL)-1(1-w)D+wU,fSOR=w(D-wL)-1b.,迭代的统一格式:x(k+1)=Bx(k)+f,例5 考察用雅可比迭代法求解线性方程组,定义3(1)按行严格对角占优:,(2)按行弱对角占优:,上式至少有一个不等号严格成立。,二、某些特殊方程组的迭代收敛性,*定义 每行每列只有一个元素是1,其余元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).,作业:P259,5.,定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优且不可约;则矩阵A非奇异。
4、,定理7 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约;则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,证明 若矩阵A按行严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约,则GS迭代收敛。假若不然,(BG)1,即迭代矩阵BG的某一特征值使得|1,并且,类似地,若矩阵A按行严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约,则Jacobi迭代收敛。假若不然,(BJ)1,即迭代矩阵BJ的某一特征值使得|1,并且,定理9 对于线性方程组Ax=b,若A为对称正定矩阵,则当02时,SOR迭代收敛.,证明 只需证明1(其中为L的任一特征值).,定理10 对于线性代数方程组Ax=b,若A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约;则当0w1时,SOR迭代收敛。,作业:P260,7,8.,