最优化问题数学模型_精品文档优质PPT.ppt

1、分析问题，找出要解决的目标，约束条件，并确立最优化的目标。并确立最优化的目标。定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函数和约束条件。数和约束条件。针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。编写程序，利用计算机求解。对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。误差等。最最优优化化模模型型分分类类方方法法有有很很多多，可可按按变变量量、约约束束条条件件、目目标标函函数数个个数数、目目标标函函数

2、数和和约约束束条条件件的的是否线性是否依赖时间等分类。是否线性是否依赖时间等分类。根根据据目目标标函函数数，约约束束条条件件的的特特点点将将最最优优化化模模型型包含的主要内容大致如下划分：包含的主要内容大致如下划分：线性规划线性规划 整数规划整数规划 非线性规划非线性规划 多目标规划多目标规划 动态动态规划规划 对策论对策论二、最优化模型的分类二、最优化模型的分类最优化模型的求解方法分类最优化模型的求解方法分类最优化数学模型形式最优化数学模型形式 其中，极大值问题可以转化为极小值问题来其中，极大值问题可以转化为极小值问题来进行求解。如求：进行求解。可以转化为：三、最优化模型的建立三、最优化模型

3、的建立目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。目标：1.1.线性规划线性规划问题问题：某工厂在计划期内要安排生产：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消两种原材料的消耗，如下表所示耗，如下表所示 12kg40原材料原材料B16kg04原材料原材料A8台时台时21设备设备III该工厂每生产一件产品该工厂每生产一件产品I可获利可获利2元，每生产一件产品元，每生产一件产品II可获利可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？元。解解：该工厂生产产品：该工厂生产产品I x1件，生产产品件，生产

4、产品II x2件，件，我们可建立如下数学模型：我们可建立如下数学模型：s.t.最优化问题中的所有变量均为整数时，这类最优化问题中的所有变量均为整数时，这类问题称为整数规划问题。问题称为整数规划问题。整数规划可分为线性整数规划和非线性整数整数规划可分为线性整数规划和非线性整数规划规划 ，以及混合整数规划等。，以及混合整数规划等。如果决策变量的取值要么为如果决策变量的取值要么为0 0，要么为，要么为1 1，则，则这样的规划问题称为这样的规划问题称为0 01 1规划。规划。2.2.整数规划整数规划问题：问题：某班级准备从某班级准备从5名名游泳队员中选择游泳队员中选择4人人组成接力队，参组成接力队，参

5、加学校的加学校的4*100m混合泳接力比赛。混合泳接力比赛。5名队员名队员4种泳姿种泳姿的百米的百米平均成绩如表平均成绩如表2-1，问应如何选拔队员组成接力队？，问应如何选拔队员组成接力队？队员队员甲甲已已丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳仰泳仰泳蛙泳蛙泳自由泳自由泳66.866.8秒秒57.257.27878707067.467.475.675.66666878758.658.666.466.4535367.867.874.274.2717184.684.659.459.469.669.657.257.283.883.862.462.4表表2-12-1问题分析：问题分析：记甲、乙、丙、丁、戊分别为记甲、乙

6、、丙、丁、戊分别为i i=1,2,3,4,5;=1,2,3,4,5;记泳姿记泳姿j j=1,2,3,4.=1,2,3,4.记队员记队员 i i 的第的第 j j 种泳姿的百米最好种泳姿的百米最好成绩为成绩为c_c_ijij（s）,（s）,则表则表2-12-1可以表示成表可以表示成表2-2.2-2.c_iji=1i=2i=3i=4i=5j=1j=2j=3j=466.866.857.257.27878707067.467.475.675.66666878758.658.666.466.4535367.867.874.274.2717184.684.659.459.469.669.657.257.2

7、83.883.862.462.4表表2-22-2 决策变量：决策变量：引入引入0-1变量变量 ，若选择队员，若选择队员i参加泳姿参加泳姿j的的比赛比赛,记，记，否则记，否则记 。目标函数：当队员当队员i入选泳姿入选泳姿j时，时，表示该队员的成表示该队员的成绩，否则绩，否则 。于是接力队的成绩可表示为。于是接力队的成绩可表示为 约束条件：约束条件：根据接力队要求，根据接力队要求，满足约束条件满足约束条件a.每人最多只能入选每人最多只能入选4种泳姿之一，即种泳姿之一，即b.每种泳姿必须有每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即人而且只能有一人入选，即 综上所述，这个问题的优化模型可写作：综上所述，

8、这个问题的优化模型可写作：非线性规划问题的一般数学模型：其中，其中，为目标函数，为目标函数，为约束函数，这些函数中至少有为约束函数，这些函数中至少有一个是非线性函数。一个是非线性函数。3.3.非线性规划非线性规划应用实例：应用实例：供应与选址供应与选址 某公司有某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：表示，距离单位：km）及水泥日用量）及水泥日用量d（t）由下表给出目前有由下表给出目前有两个临时料场位于两个临时料场位于A（5,1），B（2,7），日储量，日储量各有各有20t假设从料场到假设从料场到工地之间均有直

9、线道路相连工地之间均有直线道路相连 （1）试制定每天的供应计划，即从）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场两料场分别向各工地运分别向各工地运送多少水泥，可使总的送多少水泥，可使总的吨千米数最小吨千米数最小（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为个新的，日储量各为20t，问应建在何处，节省的吨千米数有多大，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？建立模型建立模型 记工地的位置为记工地的位置为（ai，bi），水泥日用量为，水泥日用量为di，i=1,6;料场位置为料场位置为（xj，yj），日储量为，日储量为ej，

10、j=1,2；料场；料场j向工地向工地i的运送量为的运送量为Xij当用临时料场时决策变量为：当用临时料场时决策变量为：Xij，当不用临时料场时决策变量为：当不用临时料场时决策变量为：Xij，xj，yj 事实上，客观世界中的大多问题都是非线性的，给事实上，客观世界中的大多问题都是非线性的，给予线性化处理是近似的，是在作了科学的假设和简化后予线性化处理是近似的，是在作了科学的假设和简化后得到的得到的.另一方面，有一些是不能进行线性化处理的，另一方面，有一些是不能进行线性化处理的，否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型.由于非线性规划问题在理论分析和计算上

11、通常是很由于非线性规划问题在理论分析和计算上通常是很困难的，也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和困难的，也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论全面透彻的结论.所以，在数学建模时，要进行认真的所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，线性规划模型，若线性近似误差较大时若线性近似误差较大时，则考虑用非线，则考虑用非线性规划性规划.在约在约1万米的高空的某边长为万米的高空的某边长为160km的正方的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区

12、域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。若会发生碰撞，则应计算若会发生碰撞，则应计算如何调整如何调整各架飞机各架飞机（包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免（包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，例例1 1995年全国数学建模年全国数学建模A题：飞行管

13、理问题题：飞行管理问题例题讲解例题讲解该题比较有意思的一句话是：该题比较有意思的一句话是：“使调整弧度最小使调整弧度最小”开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活，开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活，给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法（算法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的（算法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的论文。论文。不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;假设条件：飞机飞行的方向角调整幅度不应超过飞机飞行的方

14、向角调整幅度不应超过 ；（因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行（因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行 速度速度 v 均为均为800km/h;有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设注：注：进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在飞机的距离应在60km以上；以上；最多需考虑六架飞机；不必考虑飞机离开此区域后的状况。根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过60公里。公里。根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证区域内的飞机不超过架区域内的飞机不超过架（包括新进入的包括新进入的）。个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下，个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下，若时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模若时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模型一、模型二型一、模型二；或者经讨论后，选择一个认或者经讨论后，选择一个认为