第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法优质PPT.ppt

1、如果|H（ej）|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H（ej），使得滤波后的X（ej）H（ej）符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想模式如图5-1所示。（系统的频率响应H（ej）是以2为周期的。）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 图5-1数字滤波器的理想幅频特性第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能

2、限带于|的范围。由图5-1可知，理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量，而把输入信号频率在cN时，H（z）可看成是一个N阶IIR子系统与一个（M-N）阶的FIR子系统的级联。以下讨论都假定MN。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 IIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak,bk或零极点ck，dk和A，以使滤波器满足给定的性能要求。通常有以下两种方法：1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准

3、确。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 2）最优化设计法最优化设计法一般分两步来进行:第一步要选择一种最优准则。例如，选择最小均方误差准则。它是指在一组离散的频率i（i=1,2,M）上，所设计出的实际频率响应幅度|H（ej）|与所要求的理想频率响应幅度|Hd（ej）|的均方误差最小。此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 第二步，求在此最佳准则下滤波器系统函数的系数ak,bk。一般是通过不断改变滤波器系数ak、bk，分别计算;最后，找到使为最小时的一组系数ak,bk，从而完成设计。这种设计需要进

4、行大量的迭代运算，故离不开计算机。所以最优化方法又称为计算机辅助设计法。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 本章着重讨论第一种方法。利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha（s）设计数字滤波器的系统函数H（z）。因此，它归根结底是一个由S平面映射到Z平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，这个映射变换必须满足以下两条基本要求：（1）H（z）的频率响应要能模仿Ha（z）的频率响应，也即S平面虚轴j必须映射到Z平面的单位圆ej上。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法（2）因果稳定的Ha（s）应能映射成因果稳定的H（z），也即

5、S平面的左半平面Res0必须映射到Z平面单位圆的内部|z|1（阻带）当N1时，切比雪夫多项式的递推公式为CN+1（x）=2xCN（x）-CN-1（x）（5-21）（5-22）切比雪夫多项式的零值点（或根）在|x|1间隔内。当|x|1时，CN（x）是余弦函数，故|CN（x）|1第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 且多项式CN（x）在|x|1内具有等波纹幅度特性；对所有的N，CN（1）=1，N为偶数时CN（0）=;N为奇数时CN（0）=0。当|x|1时，CN（x）是双曲余弦函数，它随x增大而单调增加。显然，切比雪夫滤波器的幅度函数为的特点如下：（1）当0，N为偶数时，；当N为

6、奇数时，Ha（j0）=1。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法（2）=c时即所有幅度函数曲线都通过点，所以把c定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。在这个截止频率下，幅度函数不一定下降3dB，可以是下降其他分贝值，例如1dB等，这是与巴特沃思滤波器不同之处。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法（3）在通带内，即当|c时，则|/cc时，随着的增大,迅速满足2CN2（/c）1使|Ha（j）|迅速单调地趋近于零。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由幅度平方函数式（5-20）看出，切比雪夫滤波器有三个参数：，c和N。c是通带宽度，一般是预先

7、给定的;是与通带波纹有关的一个参数。通带波纹Ap表示成（5-23）这里，|Ha（j）|max=1表示通带幅度响应的最大值。，表示通带幅度响应的最小值，故因而（5-24）（5-25）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 可以看出，给定通带波纹值Ap（dB）后，就能求得2，这里应注意通带波纹值不一定是3dB，也可以是其他值，例如0.1dB等。滤波器阶数N等于通带内最大值和最小值的总数。前面已经说过，N为奇数时，在=0处，|Ha（j）|为最大值1；N为偶数时，在0处,|a（j）|为最小值（见图5-7）。N的数值可由阻带衰减来确定。设阻带起始点频率为s，此时阻带幅度平方函数值满足第

8、5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 式中，A是常数。如果用误差的分贝数As表示，则有所以（5-26）设s为阻带截止频率，即当s时，将上面的|Ha（j）|2的表达式代入式（5-20），可得第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 由此得出由于s/c1，所以，由式（5-21）的第二式有由此，并考虑式（5-26），可得（5-28）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 如果要求阻带边界频率上衰减越大（即A越大），也就是过渡带内幅度特性越陡，则所需的阶数N越高。或者对s求解，可得（5-29）这里，c是切比雪夫滤波器的通带宽度，但不是3dB带宽，可以

9、求出3dB带宽为（5-30）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 注意，只有当c1）,c,N给定后，就可以求得滤波器的传递函数Ha（s），这可查阅有关模拟滤波器手册。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器5.4.1 变换原理变换原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h（n）模仿模拟滤波器的冲激响应ha（t），即将ha（t）进行等间隔采样，使h（

10、n）正好等于ha（t）的采样值，满足h（n）=ha（nT）（5-31）式中,T是采样周期。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 如果令Ha（s）是ha（t）的拉普拉斯变换，H（z）为h（n）的Z变换，利用第1章1.5节采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，即利用式（1-101），得（5-32）则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT正是第1章1.5节中从S平面变换到Z平面的标准变换关系式（1-99）。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 图5-9脉冲响应不变法的映射关系第5章 无限长单位

11、脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.4.2 混叠失真混叠失真由式（5-32）知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为（5-33）这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如第1章1.2节采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即（5-34）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即|（5-35）但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真

12、，如图5-10所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 图5-10脉冲响应不变法中的频响混叠现象第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha（t）进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。第5章 无限长单位脉冲

13、响应（IIR）数字滤波器的设计方法 5.4.3 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数Ha（s）求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha（t），然后采样后得到h（n）=ha（nT），再取Z变换得H（z），过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将Ha（s）直接转换为数字滤波器H（z）。设模拟滤波器的系统函数Ha（s）只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将（5-36）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 其相应的冲激响应ha（t）是Ha（s）的

14、拉普拉斯反变换，即式中,u（t）是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha（t）的采样，即（5-37）第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 对h（n）求Z变换，即得数字滤波器的系统函数（5-38）将式（5-36）的Ha（s）和式（5-38）的H（z）加以比较，可以看出：（1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。（2）Ha（s）与H（z）的部分分式的系数是相同的，都是Ak。第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法（3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1，因此数字滤波器也是因果稳定的。（4）虽然脉冲响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，特