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1、（5）从以上定义可以看出，图包含两个方面的基本要素：点集（或称顶点集）；边集（或称弧集）。例例：在如图3.1.1所示的图中，顶 点 集 为 V v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8，边集为Ee1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11。图3.1.1（6 6）在现实地理系统中，对于地理位置、地理实体、地理区域以及它们之间的相互联系，可以经过一定的简化与抽象，将它们描述为图论意义下的地理网络，即图。n地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等点点 n它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、

2、资金流、信息流、技术流等点与点的连线点与点的连线。n一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河流线线，河流分岔或汇聚处点点，流域地貌系统水系的基本结局（树树）。列昂纳德欧拉七桥问题 东普鲁士的哥尼斯堡城（现在的加里宁格勒）是建在两条河流的汇合处以及河中的两个小岛上的，共有七座小桥将两个小岛及小岛与城市的其它部分连接起来，那么，哥尼斯堡人从其住所出发，能否恰好只经过每座小桥一次而返回原处？图论研究结果告诉我们，其答案是否定的。（7 7）需要说明的是）需要说明的是图的定义只关注点之间是否连通，而不关注点之间的连结方式。对于任何一个图，他的画法并不唯一。（二）图的

3、（二）图的一些一些相关概念相关概念（1）无向图与有向图）无向图与有向图 无向图图的每条边都没有给定方向，即（u，v）（v，u）；有向图图的每条边都给定了方向，即（u，v）（v，u）。一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记为E。这样，G=（V，A）就表示有向图，而G=（V，E）则表示无向图。有向图（2）赋权图。）赋权图。如果图G（V，E）中的每一条边（vi，vj）都相应地赋有一个数值wij，则称G为赋权图，其中wij称为边（vi，vj）的权值。除了可以给图的边赋权外，也可以给图的顶点赋权。这就是说，对于图G中的每一顶点vj，也可以赋予一个载荷a（vj）。（3）关联边）关联边。若e（u，v），则

4、称u和v是边e的端点，e是u和v的关联边。（4）环）环。若e的两个端点相同，即uv，则称为环。（5）多重边）多重边。若连接两个端点的边多于一条以上，则称为多重边。（6）多重图。）多重图。含有多重边的图，称为多重图。（7）简单图。）简单图。无环、无多重边的图，称为简单图。（8）点与次。）点与次。以点v为端点的边的个数称为点v的次次，记为d（v）。次等于1的点称为悬挂点悬挂点；与悬挂点关联的边称为悬挂边悬挂边；次为零的点称为孤立点孤立点。次为奇数的点称为奇点奇点；次为偶 数的点称为偶点偶点。（9）连通图。）连通图。在图G中，若任何两点之间至少存在一条路（对 于有向图，则不考虑边的方向），则称G为连

5、通图，否则称 为不连通图。（10）路（链）。）路（链）。若图G（V，E）中，若顶点与边交替出现的序列（对于有向图来说，要求排在每一条边之前和之后的顶点分别是这条边的起点和终点）：Pvi1，ei1，vi2，ei2，eik-1，vik 满足 eit=（vit，vi，t+1）（t=1,2,k-1）则称P为一条从vi1到vik的路（或链），简记为 Pvi1，vi2，vik。（11）回路。）回路。若一条路的起点与终点相同，即vi1=vik，则称它为回路。（12）树。）树。不含回路的连通的无向图称为树。（13）基础图。）基础图。从一个有向图D（V，A）中去掉所有边上的箭头所得到的无向图，就称为D的基础图，

6、记之为G（D）。（14）截。）截。如果从图中移去边的一个集合将增加亚图的数目时，被移去的边的集合就称为截。（15）子图。）子图。设G（V，E）是一个无向图，V1与E1分别是V与E的子集，即V1 V，E1 E。如果对于任意eiE1，其两个端点都属于V1，则称G1（V1，E1）是图G的一个子图。（1616）支撑子图。）支撑子图。设G1（V1，E1）是图G（V，E）的一个子图，如果V1 V，则称G1是G 的支撑子图。（1717）支撑树。）支撑树。设G（V，E）是一个无向图，如果T（V1，E1）是G的支撑子图，并且T是树，则称T是G的一个支撑树。（1818）树的重量。）树的重量。一个树的所有边的权值之

7、和称为该树的重量。（1919）最小支撑树。）最小支撑树。在一个图的所有支撑树中，重量最小的那个叫做该图的最小支撑树。二、地理网络的测度二、地理网络的测度 许多现实的地理问题，只要经过一定的简化和抽象，就可以将它们描述为图论意义下的地理网络，点和线的排布格局，并可以进一步定量化地测度它们的拓扑结构，以及连通性和复杂性。树状型地理网络平面网络（二维的）非平面网络（非二维的）道路型环状型细胞型图图3.1.5 3.1.5 地理网络的拓扑分类地理网络的拓扑分类 目前关于地理网络的拓扑研究，最多、最常见的是基于平面图描述的二维平面网络。所谓平面图，被规定为：各连线之间不能交叉，而且每一条连线除顶点以外，不

8、能再有其它的公共点（牛文元，1987）。以下的讨论，除非特别申明外，都限于二维平面网络。（一）关联矩阵与邻接矩阵（一）关联矩阵与邻接矩阵 关联矩阵关联矩阵测度网络图中顶点与边的关联关系。假设网络图G（V，E）的顶点集为V=v1，v2，vn，边集为E=e1，e2，em，则该网络图的关联矩阵就是一个nm矩阵，可表示为：gij为顶点vi与边ej相关联的次数。v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7该图的关联矩阵为：例：邻接矩阵邻接矩阵测度网络图中各顶点之间的连通性程度。假设图G（V，E）的顶点集为V=v1，v2，vn，则邻接矩阵是一个n阶方阵，可表示为：aij表示连接顶点vi与vj的边的数目

9、。该图的邻接矩阵为：v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7例：（二）有关测度指标（二）有关测度指标指数回路数k指数指数对于任何一个网络图，都存在着三种共同的基础指标：连线（边或弧）数目m；结点（顶点）数目n；网络中亚图的数目p。由它们可以产生如下几个更为一般性的测度指标：指数线点率，是网络内每一个节点的平均连线数目。=0，表示无网络存在；网络的复杂性增加，则值也增大。没有孤立点存在的网络，连线数目为n-p,则指数为（1 1）指数指数如果地理网络不包含次级亚图，即P1，则其最低限度连接的 指数值为 。（2）（2）回路数回路数k 回路是一种闭合路径,它的始点同时也是终点。若网络内存在回路

10、，则连线的数目就必须超过n-p（最低限度连接网络的连接数目）。回路数k实际连线数目减去最低限度连接的连线数目，即（3）（3）指数指数指数实际回路数与网络内可能存在的最大回路数之间的比率。网络内可能存在的最大回路数目为连线的最大可能数目减去最低限度连接的连线数目，即 所以，指数为指数也可以用百分率表示对于非平面网络，其 指数为 指数的变化范围，一般介于0，1区间，0意味着网络中不存在回路；1，说明网络中已达到最大限度的回路数目。（4）（4）指数指数指数网络内连线的实际数目与连线可能存在的最大数目之间的比率，对于平面网络，其计算公式为：指数是测度网络连通性的一种指标，其数值变化范围为0，1。0，表

11、示网络内无连线，只有孤立点存在；1，则表示网络内每一个节点都存在与其它所有节点相连的连线。指数也可以用百分比表示对于非平面网络，指数的计算公式为：表表3.1.1 3.1.1 几种简单网络图的有关测度指标几种简单网络图的有关测度指标 3.1.3.2 最短路径与选址问题最短路径与选址问题 对于许多地理问题，当它们被抽象为图论意义下的网络图时，问题的核心就变成了网络图上的优化计算问题。其中，最为常见的是关于路径和顶点的优选计算问题。在路径的优选计算问题中，最常见的是最最短短路路径径问问题题；而在顶点的优选计算问题中，最为常见的是中中心心点点和中中位位点点选址问题。一、最短路径问题一、最短路径问题（1

12、）“纯距离”意义上的最短路径。例如，需要运送一批物资从一个城市到另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？（2）“经济距离”意义上的最短路径。例如，某公司在10大港口C1，C2，C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最廉价的货运线路是什么？（一）最短路径的含义（一）最短路径的含义 （3）“时间”意义上的最短路径。例如，某家经营公司有一批货物急需从一个城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河流航运、航空运输等四种运输方式和各个运输线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运输路线最节省时间？以上

13、三类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图上的最短路径问题。不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中边的权值。权这种权值既可以代表“纯距离纯距离 ”，又可以代表“经济距离经济距离 ”，也可以代表“时间距离时间距离 ”。（二）（二）最短路径的算法最短路径的算法最短路径问题最好的求解方法：1959年，EWDijkstar 提出的标号法标号法。标号法优点 不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，而且可以求出起点到其它任何一个顶点的最短路径及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最短路径问题。n标号法的基本思想 设是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边，都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶点，确定为

14、起点和终点，不妨设为起点，为终点。标号法的基本思想是：首先v1从开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些标号，又进一步区分为T标号和P标号两种类型。其中，每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；P标号表示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。在最短路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点，先给它一个T标号；算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改，将其变为P标号。那么，最多经过k-1步，就可以求得到从起点v1到每一个顶点的最短路径及其长度。标号法具体计算步骤计算步骤 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样的点 将其T标号修改为：minT（vj），P（vi）+wij。若G中没有T标号，则停止。否则，把点 的T标号修改为P标号，然后再转入。其中，满足：开始，先给v1标上P标号P（v1）0，其余各点标上T标号T（vj）+