新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案.docx

1、新教材人教B版数学必修第一册学案第3章32第2课时零点的存在性及其近似值的求法含答案第2课时零点的存在性及其近似值的求法学 习 任 务核 心 素 养1掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数. (重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法求函数零点近似解的步骤(难点)3理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题(重点、难点)1通过零点存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养2通过二分法的学习，提升数据分析、数学建模的学科素养3理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给竞猜者展示一件新式产品，让竞猜者去

2、猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后竞猜者继续猜，怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？知识点一函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即x0(a，b)，f(x0)0.利用函数零点存在定理能确定零点个数吗？提示不能只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数yf(x)在a，b上图像连续，且f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内一定没有零点 ()(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点

3、，则f(a)f(b)0. ()(3)若函数f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)在a，b上至多有一个零点 ()(4)函数y2x1的零点是. ()答案(1)(2)(3)(4)2.下列图像表示的函数中没有零点的是()AB CDAB，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点知识点二求函数零点的近似值的一种计算方法二分法1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点

4、时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现2用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)在a，b上的零点近似值的步骤是：第一步检查|ba|2是否成立，如果成立，取x1，计算结束；如果不成立，转到第二步第二步计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f0，取x1，计算结束；若f0，转到第三步第三步若f(a)f0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)0，将的值赋给a，回到第一步3.下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31

5、 Bf(x)2x3x5Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1C因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点4.用“二分法”可求近似解，对于精确度说法正确的是()A越大，零点的精确度越高 B越大，零点的精确度越低C重复计算次数就是 D重复计算次数与无关B依“二分法”的具体步骤可知，越大，零点的精确度越低5.若函数f(x)在a，b上的图像为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)0，则()Af(x)在上有零点 Bf(x)在上有零点Cf(x)在上无零点 Df(x)在上无零点B由f(a)f(b)0，可知ff(b)0，根据零点的存在性定理，可知f(x)在上有零

6、点故选B 类型1判断函数零点个数或所在区间【例1】(1)已知函数yf(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88则下列说法正确的是()A函数yf(x)在区间1,6上有3个零点B函数yf(x)在区间1,6上至少有3个零点C函数yf(x)在区间1,6上至多有3个零点D函数yf(x)在区间1,2上无零点(2)函数f(x)x3x5的零点所在区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)(1)B(2)B(1)由表可知，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，但函数yf(x)在1,2上

7、也有可能存在一个或多个零点(2)由函数f(x)x3x5可得f(1)11530，故有f(1)f(2)0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B判断函数零点所在区间有哪3个步骤？提示(1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点1若函数yf(x)在区间a，b上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a，b)使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则存在且

8、只存在一个实数c(a，b)使得f(c)0C若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)使得f(c)0D若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数c(a，b)使得f(c)0C对于A选项，可能存在，如yx2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在 类型2对二分法概念的理解【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()B利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区

9、间a，b上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.2如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()A(2.1，1) B(1.9,2.3)C(4.1,5) D(5,6.1)B只有B中的区间所含零点是不变号零点 类型3用二分法求函数零点的近似值【例3】求函数f(x)x25的负零点(精确度为0.1)解由于f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2

10、.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.利用二分法求函数零点应关注3点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算3证明函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)解由于f(1)10，又函数f(x

11、)在1,2内是增函数，所以函数在区间1,2内有唯一零点，不妨设为x0，则x01,2下面用二分法求解(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0f(1.187 5)0因为|1.187 51.25|0.062 50.1，所以函数f(x)2x3x6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25. 类型4一元二次方程根的分布问题【例4】已知关于x的方程7x2(m13)xm20的一个根在区间(0,1)内，另一个根

12、在区间(1,2)内，则实数m的取值范围为()A(4，2) B(3，2)C(4,0) D(3,1)思路点拨A设函数f(x)7x2(m13)xm2，则由题意可画出函数f(x)的草图如图所示，由图可得解得4m2.故实数m的取值范围为(4，2)解一元二次方程根的分布问题一般从4个方面考虑(1)抛物线开口方向(2)一元二次方程根的判别式(3)对应区间端点函数值的符号(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系4关于x的一元二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有实数解，求实数m的取值范围解设f(x)x2(m1)x1，x0,2，若f(x)0在区间0,2上有一个实数解，f(0)10，f(2)0或又f(2)22(m1)21，m.若f(x)0在区间0,2上有两个实数解，则即m1综上，实数m的取值范围为m|m1.1函数yx28x16在区间3,5上()A没有零点 B有一个零点C有两个零点 D有无数个零点B令x28x160，得x4，故函数yx28x16在3,5上有一个零点故选B2下列函数中，不能用二分法求零点的是()AB C DD由函数图像可得，D中的函数没有零点，故不能用二分法求零点；A，B，C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点3已知函数f(x)3a