全国大学生数学竞赛大纲Word格式文档下载.docx

1、2.数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与

2、连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式（Peano余项与Lagrange余项）.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算. 四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值

3、定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理

4、.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的

5、一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系. 七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Diric

6、hlet判别法.2.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.、高等

7、代数部分多项式数域与一元多项式的概念多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法互素、不可约多项式、重因式与重根.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.多元多项式及对称多项式、韦达（Vieta）定理.行列式n级行列式的定义.n级行列式的性质.行列式的计算.行列式按一行（列）展开.拉普拉斯（Laplace）展开定理.克拉默（Cramer）法则.三、线性方程组1.高斯（Gauss）消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2.n维向量的

8、运算与向量组.3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4.向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置等运算）及其运算律.2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6.分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型双线性函数、对偶空间二次型及其矩阵表示.二次型的标准形

9、、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间线性空间的定义与简单性质.维数，基与坐标.基变换与坐标变换.线性子空间.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形.九、欧氏空间 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.标准

10、正交基、正交矩阵、施密特（Schmidt）正交化方法.欧氏空间的同构.正交变换、子空间的正交补.对称变换、实对称矩阵的标准形.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.酉空间.、解析几何部分一、向量与坐标1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程（向量式与坐标式之间的互化）及其关系.2.空间曲线方程的普通

11、形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程. 四、二次曲面 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲

12、面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1.函数的概念及表

13、示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达（LHospital）法则与求未定式极限.7.函数的极