届高考数学考前归纳总结复习题9Word文件下载.docx

1、二、求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律， 即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上 的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补 充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。三、典例分析 1.用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何

2、的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为，则， 则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距

3、离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2， 一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。 。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。2.用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：

4、 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解 设M点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得

5、其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2

6、，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特

7、性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，

8、点M的轨迹方程为x2y50。【点评】解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运 用了kPAkPB1，这些等量关系。用参数法求解时，一 般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度， 有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意 义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的 中点M的轨迹。解法一：“几何法” 设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OMBC, 所以|OM | | ，即（x2 +y2）+（x ）2

9、 +y2 =16 化简得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k（x4）,由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.（*）,由点M为BC的中点，所以x=.（1） , 又OMBC，所以k=.（2）由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2,所以x1.所以点M的轨迹方程为（x

10、2）2+ y2 =4 （0x1） 所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。4.用代入法等其它方法求轨迹方程 例4. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，

11、且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 【解析】： 设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=所以有（x4）2+y2=36（x2+y2）,即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 四、常见错误：【例题5】中，B，C 坐标分

12、别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为提示：1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此， 在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其 中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外， 要将其“捉拿归案”。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方 法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习：1:已知两点给出下列曲线方程：；，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（ ）A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲线上存在点P满足,即要使得