数理逻辑的推理及形式证明文档格式.docx

1、1. 目的了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。通过重要的历史事件，了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题。2. 数理逻辑的发展前期前史时期古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论初创时期逻辑代数时期（17世纪末）资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。莱布尼兹（Leibniz, 16461716）完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想：提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能

2、使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。布尔（G. Boole, 18151864）代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。3. 数理逻辑的奠基时期弗雷格（G. Frege, 18481925）：概念语言一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言（1879）的出版标志着数理逻辑的基础部分命题演算和谓词演算的正式建立。皮亚诺（Giuseppe Peano, 1858193

3、2）：用一种新的方法陈述的算术原理（1889）提出了自然数算术的一个公理系统。罗素（Bertrand Russell, 18721970）：数学原理（与怀特黑合著，1910, 1912, 1913）从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。逻辑演算的发展：甘岑（G. Gentzen）的自然推理系统（Natural Deduction System），逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯（Lewi

4、s, 18831964）的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。4. 集合论的发展看待无穷集合的两种观点：实无穷与潜无穷康托尔（G. Cantor, 18451918）：以实无穷的思想为指导，建立了朴素集合论 外延原则（集合由它的元素决定）和概括原则（每一性质产生一集合）。可数集和不可数集，确定无穷集合的本质在于集合本身能与其子集一一对应。能与正整数集合对应的集合是可数的，否则是不可数的。证明了有理数集是可数的，使用对角线法证明了实数集合是不可数的。超穷基数和超穷序数朴素集合论的悖论：罗素悖论公理集合论的建立：ZFC系统6. 第三次数学危机与逻辑主义、直觉主义与

5、形式主义集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。罗素等的逻辑主义：数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，数学原理一书是他们这一思想的体现。为解决悖论产生了逻辑类型论。布劳维尔（Brouwer, 18811966）的直觉主义：数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。坚持潜无穷，强调排中律不能用于无穷集合。海丁（Heyting）的直觉主义逻辑。希尔伯特（D. Hilbert）的形式主义：公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用

6、数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将各门数学形式化，构成形式系统，并证明其一致性，这是希尔伯特的数学纲领。7. 数理逻辑的发展初期哥德尔（Godel, 19061978）不完全性定理：一个足够强大的形式系统，如果是一致的则不是完全的，即有的判断在其中是不可证的，既不能断定其为假，也不能证明其为真。各种计算模型：哥德尔的递归函数理论，邱吉尔的 演算，图灵机模型这些计算模型是计算机科学的理论基础，是计算机的理论模型。三、预备知识1. 集合的基本概念集合（set）：集合是数学中最基本的概念之一，不能以更简单的概念来定义（define），只能给出它的描

7、述（description）。一些对象的整体就称为一个集合，这个整体的每个对象称为该集合的一个元素（member或element）。用大写字母A, B, C等表示集合，用小写字母a, b, c等表示集合的元素a A表示：a是集合A的元素，或说a属于集合Aa不是集合A的元素，或说a不属于集合A集合中的元素是无序的，不重复的。通常使用两种方法来给出一个集合：列元素法：列出某集合的所有元素，如：A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9表示所有小于10的自然数所构成的集合B = a, b, , z 表示所有小写英文字母所构成的集合性质概括法：使用某个性质来概括集合中的元素，如：

8、 A = n | n 是小于10的自然数C = n | n 是质数 表示所有质数所构成的集合集合由它的元素所决定，换句话说，两个集合A和B相等，记为A = B，如果A和B具有相同的元素，即a属于集合A当且仅当a属于集合B。子集（subset）：说集合A是集合B的子集，记为A B，如果a属于集合A则a也属于集合B。因此A=B当且仅当A B且B A。说集合A是集合B的真子集（proper subset），如果A B且A不等于B（A B）。空集（empty set）：约定存在一个没有任何元素的集合，称为空集，记为 ，有时也用来表示。按子集的定义，空集是任何集合的子集（为什么？）。幂集（power s

9、et）：集合A的幂集，记为P（A），是A的所有子集所构成的集合，即：P（A） = B | B A 例如，A = 0, 1，则P（A） = , 0, 1, 0, 1 显然，对任意集合A，有 P（A）和A P（A）补集（complement set）：集合A的补集，记为A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合，即A = x | x A。通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。集合的并（union）：集合A和B的并A B定义为：A B = x | x A或者x B，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的并定义为：

10、 A1 A2 An = x | 存在某个i，使得x Ai集合的交（intersection）：A B = x | x A而且x B，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, , An都是集合，它们的交定义为： A1 A2 An = x | 对所有的i，都有x Ai集合的差（difference）：集合A和B的差A B定义为：A B = x | x A而且x B。2. 关系和函数的基本概念有序对（ordered pair）：设A和B是两个集合，a A, b B是两个元素，a和b的有序对，记为，定义为集合a, a, b。设和是两个有序对，可以证明 = 当且仅当a1 = a2且b1 = b2。（

11、如何证？）有序对可推广到n个元素，设A1, A2, , An是集合，a1 A1, a2 A2, , an An是元素，定义有序n元组（ordered n-tuple）为, an，注意这是一个归纳（inductive）定义，将有序n元组的定义归结为有序n-1元组的定义。显然有当且仅当a1 = b1且a2 = b2且且an = bn。集合的笛卡尔积（cartesian product）：两个集合A和B的笛卡尔积A B定义为： A B = | a A且b B例如，设A = a, b, c，B = 1, 2，则：A B = , b, 1b, 2c, 1c, 2笛卡尔积可推广到多个集合的情况，集合A1,

12、 A2, , An的笛卡尔积定义为： A1 A2 An = | a1 A1且a2 A2且且an An集合之间的关系（relation）：定义n个集合A1, A2, , An之间的一个n元关系R为集合A1, A2, , An的笛卡尔积A1 A2 An的一个子集。 A1 A2 An，若 R，则称a1, a2, , an间具有关系R，否则称它们不具有关系R。特别地：当A1 = A2 = = An = A时，称R为A上的n元关系。当n = 2时，有R A1 A2，称R为A1与A2间的一个二元关系（binary relation）。这时若 R则简记为a1Ra2，否则（即 R）记为a1Ra2。通常研究得最

13、多的是二元关系，n元关系的许多性质可从二元关系的性质扩充而得到。如果没有特别指明的话，说R是一个关系则是指R是一个二元关系。当n = 1时，这时可认为R是集合A上满足某种性质的子集。关系的一些性质：设R是A上的二元关系：说R是自反的（reflexive），如果对任意的a A有aRa。说R是反自反的（irreflexive），如果对任意的a A有aRa。说R是对称的（symmetric），如果对任意的a, b A有若aRb则bRa。 说R是反对称的（antisymmetric），如果对任意的a, b A有若aRb且bRa则a = b。说R是传递的（transitive），如果对任意的a, b, c A有若aRb