1、MATLAB优化丁具箱涉及函数的最小化或最大化问题,也就是函数的极值问题。MATLAB优化工具箱包含一系列优化算法函数,可以求解无约束条件的非线性极小值、二次规划问题、线性规划问题、有约束条件下的非线性极小值等问题。Matlab优化工具箱中由linprog 函数来解线性规划问题。数学模型为:求解Matlab优化工具箱中由fminunc和fminsearch函数来解无约束非线性问题。其中fminunc函数用于目标函数连续情况,fminsearch用于不连续情况。Matlab优化工具箱中由fminbnd、fmincon、fsemcnf、quadprog和fminmax函数来解约束优化问题。数学模型
2、如下:3 应用实例现利用机械优化设计知识及Matlab优化工具箱对汽门用弹簧重量进行优化设计。有一汽门用弹簧,已知安装高度H1=50.8mm,安装(初始)载荷F1=272N,最大工作载荷F2=680N,工作行程h=10.16mm弹簧丝用油淬火的50CrVA钢丝,进行喷丸处理;工作温度126C;要求弹簧中径为20mmD250mm,弹簧总圈数4n150,支承圈数n2=1.75,旋绕比C6;安全系数为1.2;设计一个具有重量最轻的结构方案。3.1建立数学模型3.1.1选取设计变量影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径:d,弹簧中径D1和弹簧总圈数n1,可取这三个参数作为设计变量:即:3.1.2建立目标函
3、数弹簧的重量为式中钢丝材料的容重, 目标函数的表达式为3.1.确定约束条件:)弹簧的疲劳强度应满足式中 S弹簧的疲劳安全系数,由下式计算:式中 ,计算方法如下:初选弹簧钢丝直径:4mmd8mm,其抗拉强度,取弹簧的循环工作次数大于,则材料的脉动循环疲劳极限为设可靠度为90,可靠性系数: ;工作温度为126C,温度修正系数 : 再考虑到材料经喷丸处理,可提高疲劳强度10,则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为 弹簧材料的剪切屈服极限,其计算公式为弹簧的剪应力幅,计算公式为式中 k曲度系数,弹簧承受变应力时,计算公式为载荷幅,其值为弹簧的平均剪应力,计算公式为式中应力修正系数,计算公式为平均载荷,其值为由
4、此,得到弹簧疲劳强度的约束条件为计算剪应力幅:计算平均应力幅:计算弹簧的实际疲劳安全系数:从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为)根据旋绕比的要求,得到约束条件)根据对弹簧中径的要求,得到约束条件)根据压缩弹簧的稳定性条件,要求:式中压缩弹簧稳定性的临界载荷,可按下式计算:式中 K要求弹簧具有的刚度,按下式计算:弹簧的自由高度,按下式计算:当时,长度折算系数,当弹簧一端固定,一端铰支时,取;则:于是得 5)为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象,要求弹簧在最大载荷时的高度应大于压并高度,由于于是得到)为了保证弹簧具有足够的刚度,要求弹簧的刚度与设计要求的刚度的误差小于1/100,其误差值用下式计
5、算:式中G弹簧材料的剪切弹性模量,取G=80000Mpa。)为了限制设计变量的取值范围,得到3.2 利用matlab优化工具箱求解3.2.1编写目标函数M文件spring.mfunction f = spring(x)f = 0.1925*exp(-6)*x(1)2*x(2)*x(3)3.2.2编写约束函数M文件sprcon.mfunction c ceq=sprcon1(x)z(1)=830.30*x(2)*exp(0.86)/(x(1)*exp(2.86);z(2)=1212.12*x(2)/x(1)3+745.46/x(1)2;z(3)=365.4/(1.506*z(1)+0.494*z
6、(2);z(4)=(x(3)-0.5)*x(1)+20.304;z(5)=(x(2)/z(4)2;z(6)=3.268*z(4)*(1-sqrt(1-13.98*z(5);z(7)=8*x(2)3*(x(3)-1.75);z(8)=80000*x(1)4/z(7);c=1.2/z(3)-1;6*x(1)/x(2)-1;20/x(2)-1; x(2)/50-1;680/z(6)-1;0.0246*x(1)*x(3)-0.0123*x(1)-1; abs(z(8)-0.401;-x(1);6.0-x(3);ceq=;3.2.3在命令窗口中调用优化程序options = optimset(Large
7、Scale,off); x0=6 35 27;x,fval,exitflag,output= fmincon(spring,x0,sprcon,options)得到结果为:x = 6.4742 24.9474 13.6076fval = 6.7895由此可知,弹簧重量最轻的优化结果为:弹簧钢丝直径d=6.4742,弹簧中径D1=24.9474和弹簧总圈数n1=13.6076,其最轻重量为W=6.7895。4 结论通过以上实例可以看出,应用MATLAB优化工具箱进行优化设计问题求解,编程工作量小,初始参数输入简单,符合工程设计语言,提高设计效率。尤其是对于某些工程问题,用一种预先选定的方法很可能
8、得不到最优解,运用MATLAB语言优化工具箱来求解优化问题就显得简单方便。参考文献:1 郑则坡,曾佑文,曾刚,等。基于遗传算法的二级齿轮减速器优化设计J.矿山机械.2010.38(20):46-49;2 韩晓明,铁占续.机械优化设计及其MATLAB实现J.焦作工学院学报(自然科学版).2004.23(6):467-470;3 闻邦椿,张义民,孙志礼,等.机械设计手册M. 北京:机械工业出版社,2010;4 孙靖民.机械优化设计M.北京:机械工业出版社,2000. 5 张伟,刘成良,丁立强.200MW汽轮机次末级叶片的安装J.民营科技,2011(1):33;6 李晓红,师建州.汽轮机叶轮键槽裂纹及安全评定J.湖北电力.1995(3):51-52;7 蒋浦宁.核电汽轮机防应力腐蚀技术J.热力透平.2010,39(2):89-92;.
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