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1、一个连接n个刚片的复铰相当于n1个单铰；一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束；一个连接n个刚片的复刚性节点相当于n1个单刚性节点。 一个平面体系的自由度w可按下式确定 W3n2HR其中n为体系中的刚片总数，H、R分别为体系中的单铰总数和支杆总数。例如图11所示体系的自由度分别为1和0。自由度大于零的体系一定是几何可变的。自由度等于零及小于零的体系，可能是几何不变的也可能是几何可变的，要根据体系中的约束布置情况确定。（a） （b）图11 （四）必要约束和多余约束 如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少

2、，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆（或称单闭合杆）具有三个多余约束。 （五）等效代替 1等效刚片 几何组成分析时，一个内部几何不变的平面体系，可用一个相应的刚片来代替，此刚片称为等效刚片。 2等效链杆 几何组成分析时，一根两端为铰的非直线形杆件，可用一根相应的两端为铰的直线形 链杆来代替，此直线形链杆称为等效链杆。 3虚铰 连接两个刚片的两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为虚铰（如图12）。两根链杆对两个刚片运动的约束效果与相应的虚铰是等效的。（a） （b）图12 二、平面体系的几何组成分析 （一）平面几何不变体系的基本组成规则及瞬变体系、常变体系 判定体系是否满足几何不变的充

3、分条件是几何不变体系的基本组成规则。 1两刚片连接规则 两个刚片用不相交于一点或不互相平行的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。 2三刚片连接规则 三个刚片用三个不在一条直线上的单铰（虚铰或实铰）两两相连而成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。 两刚片、三刚片连接规则实际上是可以相互变换沟通的。 3两元片和一元片规则 由上述两刚片、三刚片连接规则可得如下的两元片和一元片规则。由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置称为两元片；由三根不相交于一点的链杆连接一个刚片的装置称为一元片。在一个体系上增加或去除两元片、一元片，不影响原体系的几何不变性或可变性。 4瞬变体系

4、和常变体系 只能作微小运动的体系称为瞬变体系。例如图13所示的体系均为瞬变体系。能作非常微小运动的体系称为常变体系。如一个实铰连接两个刚片的体系及用三根等长且都平行的链杆连接两个刚片的体系都是常变体系。（a） （b） （c）图13（二）几何组成分析例题 例11 分析图14（a）所示体系的几何组成。图14解 体系的自由度W33-22-50。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片（图14（b），刚片I和由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。 例12 分析图15（a）所示体系的几何组成。图15

5、解 体系的自由度W=31021260。将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片、（图15（b），则刚片I、由三个虚铰（I）、（I）、（）两两相连，其中虚铰（）由一组平行链杆形成，而虚铰（I）、（I）的连接线平行于形成虚铰（）的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。 例13 分析图16（a）所示体系的几何组成。8210-4=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片，DB杆作为刚片，这三个刚片由三个虚铰（I）、（I）、（）两两相连，如图16（b）所示。因形成无穷远处的两个虚铰（I）、（）的两组平行链杆不相互平行，

6、故体系是无多余约束的几何不变体。图16 例14 分析图17（a）所示体系的几何组成。（a） （b）图17 解 体系的自由度W3921230。根据一元片规则，去除图17（a）所示体系的一元片，得图17（b）所示体系。再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰（I）、（I）、（）两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系（无穷远处的三个点在一广义直线上）。第二节 静定结构受力分析和特性 一、静定结构的定义 静定结构是没有多余约束的几何不变体系。在任意荷载作用下，其全部支座反力和内 力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结

7、构的反力和内力的解答是唯一 的。但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。 二、计算静定结构反力和内力的基本方法 在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都 作为刚体看待。静定结构受力分析的基本方法有以下三种。 （一）数解法 将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建 立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。 （二）图解法 静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。其中闭合 力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平

8、衡方程。据此即可用图解 法确定静定结构的支座反力和内力。 （三）基于刚体系虚位移原理的方法受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的 虚功总和等于零。据此，如欲求静定结构上某约束力（反力或内力）时，可去除相应的约束， 使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。三、直杆弯矩图的叠加法 绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。直杆弯矩图的叠加法 可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图21所示。作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉

9、一边，弯矩图中不要标明正、负号。图21 四、直杆内力图的特征 在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dVdxq，dMdxV、d2Mdx2q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征（表21）。表21梁上情况无外力区段均布力q作用区段集中力P作用处集小力偶M。作用处铰处剪力图水平线斜直线为零处有突变（突变值P）如变号无变化弯矩图一般为斜直线抛物线（凸出方向同q指向）有极值有尖角（尖角指向同P指向）有突变（突变值M。）为零 注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。熟悉掌握内力图的特征

10、，便于绘制和校核内力图。 五、静定多跨梁 （一）静定多跨梁的组成 由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。图22（a）、图23（a）所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。 图22（a）中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。图112-2（b）为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。图22 图23（a）所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图23（b）所示。图23 静定多跨梁的支座反力数

11、等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。 （二）静定多跨梁的计算 因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。 1区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。 2根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。 3对反力和内力图进行校核。 支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。弯矩图、剪力图一般可根据表21中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。 例21 求作

12、图24（a）所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。图24 解 层叠图如图24（b）所示。各附属部分、基本部分的计算过程如图24（c）所示。弯矩图和剪力图分别如图24（d）所示。其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。 容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。 六、静定平面刚架 部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。 静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接

13、处的约束力，再由截面法求 出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。 例22 绘制图25（a）所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。图25解 （1）计算支座反力 根据刚架的整体平衡条件，由X0，得HA4qa； MA0，得VB2qa； Y0，得VA2qa。 （2）计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。由截面法可得各杆端截面的内力值为： AC杆：MAC0，MCA16qa2（左侧受拉）；VAC4qa，VCA12qa；NAC2qa，NCA2qa（轴力以拉力为正）。 BE杆：MBD0，MDB18qa2（右侧受拉）；VBD1.2qa，VDB8.4qa；NBD1.6qa，NDB8.8qa。 CD杆：MCD=16qa2（上侧受拉），MDC=24qa2（上侧受拉）；VCD2qa，VDC2qa；