空间曲线的参数化Word格式文档下载.docx

1、所熟知的参数方程先将其参数化，再代入的另一方程，求出另一变量的参数表达式。例2将曲线，（其中）用参数方程表示。 解：在xoy平面的投影曲线为,这是一个圆，先将其参数化。因为,所以它的参数方程为，将其代入得 所以的参数方程为。 例3 对例1加一个条件，求它的参数方程。是球面，引入球坐标，由于得，故 二、曲线积分的计算 1.注意到曲线积分的被积函数 是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程去化简被积函数。 2.对称性的应用（以第一类平面曲线积分为例） （1）曲线关于x轴对称，是指,换句话说，若则它的对称点；（2）曲线关于y轴对称，是指,换句话说，若则它的对称

2、点；（3）曲线关于原点对称，是指,换句话说，若则它的对称点； （4）曲线关于直线对称（或直线对称），是指,（或）,换句话说，互为对称点，互为对称点。若曲线积分的被积函数在任意的对称点处的函数值互为相反数，则；在任意的对称点处函数值都相等，则，其中是相应对称积分曲线的一半。例1 计算 （1）,其中;（2） ,其中,周长为a。（1）由于关于y轴对称，被积函数x在对称点处的函数值互为相反数，所以。由于关于直线对称，函数在对称点处互为相反数,所以,即，从而有 由于的参数方程为，所以.（2）其中关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互为相反数，所以.例2设，求弧长的曲线积分，其中为正方形的边界。如图,由于

3、折线对关于直线对称，且在对称点上有,所以,；,原式。 例3 计算，其中。（1）由于在上，所以由例1的参数方程为,则.所以。3.格林公式的应用（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线（或曲线）使之构成封闭曲线， 再应用格林公式；（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立等式 的条件下，有成立，其中L 是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等。例1 设记为它的正向边界曲线。证明：证：由格林公式得其中，是由于是关于直线对称，即同理可证。两积分相等可由格林公式得出。例2 计算，其中是以（1,0）为中心R（R1）为半径的正向圆周。首先验证 成立。由于在为边界的闭区域内有不连续点

4、（0,0），因此在内部作正向闭曲线，其中充分小，所以例3. 已知关于坐标的曲线积分（常数），其中函数可导，且是围绕（0,0）的任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数的表达式；（2）A的值。（1）为了应用格林公式求出，先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有.（因为未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点） 如图：由此可知对有 成立，即，解此微分方程得，由于所以C=1所求的。（2）取L1为正向圆周，则。4利用曲线积分来计算曲面的面积（1）柱面被曲面截下部分的面积。计算公式为，其中在xoy面上的投影曲线.例1 求柱面位于球面之内的侧面的面积。由于关于三个坐标面都对称，所以（S0是S位于第

5、一卦限部分的面积）。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道所以 .（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。例如yoz平面上的曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为例2设，求的表面位于内部分的的面积。如图：的表面位于内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，所以三、曲面积分的计算1. 第一类曲面积分的对称性（1）曲面关于xoy平面对称，是指若则它关于xoy平面的对称点；（2）曲面关于原点对称，是指则它的对称点；（3）曲面关于平面对称，是指则它的对称点；若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数，则；在对称点处函数值相等，则，其中是相应对称积分曲面的一

6、半。例1 求下列曲面积分（1），其中；（2），其中；（1）由于关于平面对称,且函数在对称点处的值互为相反数,故，所以。， 故 .2. 第二类曲面积分的对称性及高斯公式 （1）设曲面关于xoy平面对称，若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数，则；若x与y互换，的方程及侧不变，则，若x与z互换，的方程及侧不变，则（2）当不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面,使得组成闭曲面（所围成的闭区域为），于是高斯公式为（3）当是外侧闭曲面，是它所围的闭区域，在的内部有不连续点时，可以作位于内部的外侧闭曲面,将点包围起来，这个闭曲面常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为当在上除点外处处有时，例2 ,其中是上半椭

7、球面的外侧。由于x与y互换，的方程及侧不变，且关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值互为相反数，所以其中是的部分，前侧，是在yoz平面上的投影）（椭球的体积）=（上半球体的体积）。故原式.例3. 计算曲面积分其中是球面的外侧。由于关于xoy平面对称,函数在对称点处的值相等，所以当x与y互换时，的方程及侧不变，所以其中是的的部分，且在对称点处的值互为相反数，所以有。例 4 计算,其中是柱面及两平面所围立体表面的外侧。是外侧曲面，但原点在内部，都不连续，从而不能应用高斯公式。关于xoy平面对称，在对称点处的值相等，所以.于是 其中，由积分性质，有由于关yoz平面对称，在对称点处的值互为相反，所以其中是的部分，前侧，是的在yoz平面的投影。例5 求曲面积分，其中是上半球的上侧。令，则成为上半球面上侧。其中添加（下侧），使是外侧闭曲面。应用高斯公式计算。（）例6 计算,其中是曲面的外侧。由于在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。为此作小球面，使之含在之中，并取外侧。由于除原点外，都有成立，所以