算法笔记分治法最接近点对问题_精品文档.docx

1、问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。 1、一维最接近点对问题算法思路： 这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的

2、两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个(nlogn)算法。采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任

3、一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足:T(n)=2T(n/2)+O(n2)。它的解为T(n)=O(n2)，即与合并步骤的耗时同阶，这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。 设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,.,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,.,xn排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算

4、时间花在排序上，在排序算法已经证明，时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1=xS|xm；S2=xS|xm。这样一来，对于所有pS1和qS2有pq。递归地在S1和S2上找出其最接近点对p1,p2和q1,q2，并设d=min|p1-p2|,|q1-q2|，S中的最接近点对或者是p1,p2，或者是q1,q2，或者是某个p3,q3，其中p3S1且q3S2。如图所示。 如果S的最接近点对是p3,q3，即|p3-q3|d，则p3和q3

5、两者与m的距离不超过d，即|p3-m|d，|q3-m|m。容易看出，如果选取m=max(S)+min(S)/2，可以满足线性分割的要求。选取分割点后，再用O(n)时间即可将S划分成S1=xS|xm和S2=xS|xm。然而，这样选取分割点m，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程: T(n)=T(n-1)+O(n) 它的解是T(n)=O(n2)。这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。即通过适当选择分割点m，使S1和S2中有大致相等个数的点。自然地，我们会

6、想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m。 本程序确定平衡点采用m=max(S)+min(S)/2方法。如果需要利用中位数作分割点，看结合笔者博文0005算法笔记线性时间选择改写。 一维最接近临近点对问题程序清单如下：cppview plaincopy1. /2d10-1一维最邻近点对问题2. #includestdafx.h3. #include4. #include5. usingnamespacestd;6. 7. constintL=100;8. /点对结构体9. structPair10. 1

7、1. floatd;/点对距离12. floatd1,d2;/点对坐标13. ;14. floatRandom();15. intinput(floats);/构造S16. floatMax(floats,intp,intq);17. floatMin(floats,intp,intq);18. template19. voidSwap(Type&x,Type&y);20. template21. intPartition(Types,Typex,intl,intr);22. PairCpair(floats,intl,intr);23. 24. intmain()25. 26. srand(

8、unsigned)time(NULL);27. intm;28. floatsL;29. Paird;30. m=input(s);31. d=Cpair(s,0,m-1);32. coutendl最近点对坐标为：(d1:d.d1,d2:d.d2);33. coutendl这两点距离为：d.dendl;34. return0;35. 36. 37. 38. floatRandom()39. 40. floatresult=rand()%10000;41. returnresult*0.01;42. 43. 44. intinput(floats)45. 46. intlength;47. co

9、utlength;49. cout点集在X轴上坐标为：;50. for(inti=0;ilength;i+)51. 52. si=Random();53. coutsi;54. 55. 56. returnlength;57. 58. 59. 60. floatMax(floats,intl,intr)/返回s中的最大值61. 62. floats_max=sl;63. for(inti=l+1;i=r;i+)64. if(s_maxsi)65. s_max=si;66. returns_max;67. 68. 69. floatMin(floats,intl,intr)/返回s中的最小值70

10、. 71. floats_min=sl;72. for(inti=l+1;isi)74. s_min=si;75. returns_min;76. 77. 78. template79. voidSwap(Type&x,Type&y)80. 81. Typetemp=x;82. x=y;83. y=temp;84. 85. 86. template87. intPartition(Types,Typex,intl,intr)88. 89. inti=l-1,j=r+1;90. 91. while(true)92. 93. while(s+ix&ix);95. if(i=j)96. 97. br

11、eak;98. 99. Swap(si,sj);100. 101. returnj;102. 103. 104. /返回s中的具有最近距离的点对及其距离105. PairCpair(floats,intl,intr)106. 107. Pairmin_d=99999,0,0;/最短距离108. 109. if(r-l1)returnmin_d;110. floatm1=Max(s,l,r),m2=Min(s,l,r);111. 112. floatm=(m1+m2)/2;/找出点集中的中位数113. 114. /将点集中的各元素按与m的大小关系分组115. intj=Partition(s,m,l,r);116. 117. P