数学建模案例分析线性代数建模案例20例Word文档格式.docx

1、其增广矩阵（A, b） =由此可得即. 为了唯一确定未知流量, 只要增添*4统计的值即可. 当*4 = 350时, 确定*1 = 250, *2 = 250, *3 = 50.若*4 = 200, 则*1 = 100, *2 = 400, *3 = -100 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; * = Ab Matlab执行后得* = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835可见煤矿要生产1.9966105元的煤, 电厂要生产1.8415105元的电恰好满足需求. 【模型分析】令*

2、=, A =, b =, 其中*称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则A* =根据需求, 应该有*-A* = b, 即（E-A）* = b. 故* = （E-A）-1b. 某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产

3、折旧分别为20万元, 5万元和5万元.（1） 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值. （2） 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度. 图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度（单位C）, 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4. 图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该

4、截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组【模型求解】将上述线性方程组整理得.在Matlab命令窗口输入以下命令 A = 4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4; b = 190;140;100; * = Ab; *ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. 参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数,: 电子工业,

5、 2007. 页码: 15-16. 假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择Tl = 40, Tu = 10, Tr = 0, Td = 45. 图10 一块平板的温度分布图（1） 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组. （2） 用Matlab软件求解该线性方程组. （3） 用Matlab中的函数mesh绘制三维平板温度分布图. 案例五. CT图像的代数重建问题*射线透

6、视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的*射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值（黑白图像）. 下面我们以33图像为例来说明. 表4 消耗与产出情况33图像各点的灰度值水平方向上的叠加值*1 = 1*2 = 0*3 = 0*1 + *2 + *3 = 1*4 = 0*5 =