浅谈一般化、特殊化Word文档格式.doc

1、浅谈一般化，特殊化陕西省南郑县黄官中学 熊 辉摘 要：特殊化和一般化是数学思维中的两中基本形式，它们在数学领域里发挥着重要的作用，同时它们也是我们常用的数学解题思想，理解掌握它们是我们学习数学，研究数学的前提条件。关键词：一般化 特殊化 抽象 认识 作用 反思 启示1 对一般化、特殊化的基本认识11 一般化和特殊化构成了数学抽象思维的两种基本形式 “从特殊到一般，再由一般到特殊”，这是认识的一个基本规律，这一规律在数学的认识活动中也有着十分重要的应用具体地说，一般化和特殊化即就构成了数学抽象思维的两种基本形式文1111 “一般化”（generalization）也可称为“弱抽象”，指由原型中选

2、取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例 由现实原型出发去建构相应的数学模型显然就是一个弱抽象的过程；另外，除真实的事物和现象以外，我们也可以已经得到建立的数学概念或理论为原型去进行抽象，例如，由“全等形”的概念出发，通过分离出“形状相似”和“面积相等”的特性，我们就可以分别获得“相似形”和“等积形”的概念，从而，相对于后者而言，全等形的概念就可说是一个原型，而由全等形的概念出发去建立相似形和等积形的概念则就是一个弱抽象的过程 弱抽象在数学中有着十分广泛的应用例如，数学中有很多概念是密切相关、互相联系的，而如果从生成的角度去进行分析，它们就

3、可看成一个“弱抽象概念链”，即由某一概念出发经多次弱抽象逐步生成的例如，如果用符号“（-）”表示弱抽象的关系，那么，函数概念的历史演变事实上可以看成一系列弱抽象的过程，即有（图1）：十八世纪的函数概念（解析函数）十九世纪的函数概念（建立在“变量”的概念之上）现代的函数概念（建立在“集合”的概念之上）早期的（代数函数）（-）（-）（-） 对弱抽象在数学中的具体应用，可归结为：第一，只有结构内容较为丰富的对象才能作为弱抽象的原型；第二，实现弱抽象的关键在于如何对原型的性质作出具体分析，并从中分离出某个或某些特性；第三，为了最终完成所说的弱抽象，我们必须用明确的规范化语言去表达分离出来的特性，并以此

4、为定义构建出新的、更为一般的对象112 “特殊化”（specialization）也叫做“强抽象”，是指通过引入新特征强化原型来完成抽象，因此，所获得的新概念或理论就是原型的特例 例如，由一般三角形的概念出发，通过引入“边相等”与“一个角为直角”的条件，我们就分别获得了“等腰三角形”和“直角三角形”的概念，它们显然都可看成前者的特例与弱抽象的情况相类似，在数学的历史发展中我们也可找到不少强抽象的例子一般地说，这往往是与概念的澄清（分化）直接相联系的 就最终的表现形式而言，强抽象即可看成概念的适当组合强抽象的最终表现形式也是较为简单的但是，就实际的数学研究过程而言，这又往往并非是现成概念的简单组

5、合，而必须通过新的特征的“发现”或”引入，才能由原型中分化出更为特殊的概念或理论 具体的说，为了实现强抽象，数学家们往往必须首先在原形中引入某种新的关系，如某种映射，对应关系或运算等，然后，如果这种新的关系造成了原有概念的分化，我们就可以所得出的子类的共同特性去定义新的、更为特殊的对象例如：通过曲线（点）与方程（数组）之间建立对应关系，我们就可依据方程的类别（一次方程、二次方程）去对相应曲线作出分类，而一次曲线、二次曲线等相对于一般的曲线而言显然是更为特殊的113 弱抽象和强抽象的关系 文2第一，强抽象和弱抽象是方向相反的两种思维方法从思维活动的方向看，弱抽象是“特殊到一般”的过程，强抽象则是

6、“一般到特殊”的过程 由于强抽象是“一般到特殊”的过程，因而其实际是演绎推理的过程，这个过程比较直接，但不易理解用这种方法建构新的数学概念，对思维水平要求较高一些 弱抽象是“特殊到一般”的过程，因而其实际是归纳推理的过程，这个过程比较直观，是通过直接经验来建构新的数学概念，更贴近学生的思维水平，更容易理解。 例如，中学关于四边形的概念是一个强抽象链： 四边形 （+）梯形（+） 平行四边形 （+）矩形（菱形）（+）正方形 但幼儿对四边形概念的认识是完全相反的过程，是弱抽象的过程，在教育心理学上称为“概念形成”的过程。 虽然弱抽象和强抽象的思维方向相反，但并不是互逆的，即弱抽象的产物未必能经过强抽

7、象还原，反之依然例如：对应-（）映射（+）函数 第二，弱抽象与强抽象相互依赖和补充 强抽象依赖于弱抽象，而弱抽象又需要强抽象的补充，不能片面地强调其中的某一个在中小学数学教材里，一些有关的概念常常是以 “强抽象链”的形式表述出来，例如：自然数（+）正有理数（+）有理数（+）实数（+）复数 但是其中一些强抽象所引入的新元素，是在对实际材料进行比较经过弱抽象而得到的，像分数、负数等在数学中正是弱抽象与强抽象的相互依赖和补充，使数学概念不断扩大，并使数学得以发展12希尔伯特的理解 关于一般化与特殊化，希尔伯特有两段精彩的论述： 在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更

8、一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节采取这样的观点以后，不仅我们研究的问题会容易地得到解决，同时还会获得一种能应用于有关问题的普遍方法 在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的作用可能在大多数场合，我们寻求一个问题的答案而未能成功的原因是，有一些比手头的问题更简单、更容易的问题还没有完全解决或完全没有解决这时，一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们13波利亚的理解从更广泛的意义上讲，“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小的集合，或仅仅一个对象”文3“一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含

9、该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大的集合。”文4 在数学归纳中，他指出：（1）类比是归纳的基础；（2）特殊化与一般化构成了整个归纳过程的基础，归纳本身是一个一般化的过程然而，这种一般化又是以若干特例的考察（与类比）为基础的，应进一步考察其它的特例（这又是特殊化）去对一般化所得出的猜想进行检验（和改进）；（3）如果一批问题是密切相关的，把这些问题联系起来加以考察有时要比单独去解决其中一个孤立的问题更容易 14梅森的理解 特殊化与一般化正是数学思维的核心，同时也是怎样解题的关键所在 （1）梅森指出，由于数学中特殊化具有明确的目的性，如为了更好地了解所面临的问题

10、、发现可能的解题途径等，因此，我们在此就不应对任意的特例去进行考虑，而应特别注意那些较为熟悉的、较有信心进行操作的对象因此，梅森写道：“特殊化是一个相对的概念”这就是说，特殊化是与各个人的特殊经验和能力直接相关的例如，在某个人看来是特殊化的东西对另一个人来说就可能是十分抽象的于是，有如下方法论原则：有效的特殊化意味着使用你能够很有信心地予以操作的对象 （2）梅森指出，相对于特殊化而言，一般化是较为困难的然而，一般化又是数学创造的基本形式，因为，数学认识的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实或规律 （3）梅森指出，尽管特殊化与一般化是在两个相反的方向上进行的，但是，这两者在实际的数学研究中

11、又是密切相关、互相依赖的 具体地说，正是特例的考察为由特殊到一般的抽象提供了必要的素材，而且，我们又必须借助于新的特例的考察来对由一般化所获得的一般结论进行检验并做出必要的修正或改进另外，特殊化在很大程度上是为一般化服务的：“特殊化的目的首先是给抽象命题以内容和意义，其次则是借以发现一般性的结论何以是真的或何以是假的”最后，只有上升到一般的高度，我们才能更为深刻地认识和理解各个特例2. 一般化、特殊化在解题中的作用 当代美国数学家哈尔莫斯说过：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏.”在数学教学中，解题活动是最基本的活动形式学习数学，关键之一是学会解题解题教学是数学教师的基本功

12、 波利亚的名言：“掌握数学就是意味着善于解题” 数学家解题时，一个最大的特点就是尽量追求问题的普遍化，尽可能把问题推广到更一般的情形数学家的最大愿望是希望通过问题的解决能够得到更多的收获如果教师在指导学生解题时也能做到这样，那就绝不只是解决了一个问题当然，并非所有的问题都是可以特殊化或普遍化的，但即使不能，也会在尽力使之特殊化或普遍化的过程中有所得21作为解题模式 特殊化与一般化贯穿于整个解题过程之中，或者说：“特殊化与一般化构成了整个解题过程的基础.” （1）特殊化在解题过程中的作用：第一，只有通过特殊化才能很好地了解所面临的问题；第二，只有通过特殊化才能认识导致一般化的模式；第三，对于所得

13、出的结论又必须借助进一步的特殊化去进行检验于是有如下的策略： 由随意的特殊化，去了解问题； 由系统的特殊化，为一般化提供基础； 由巧妙的特殊化，去对一般性结论进行检验 （2）就一般化而言，我们应努力去引出一般的结论，揭示其内在的依据，并作出可能的推广即一般化是围绕三个问题展开的： 什么看上去像是真的?（猜测） 为什么它是真的?（检验） 它在怎样的范围内看上去也是真的?（新的问题） 一般的解题过程可以划分为三个阶段：进入、着手、回顾对此他提出了建议和问题： 在进入的阶段，应当考虑：什么是已知的?什么是所要求的?什么是可以引进的?（指引进适当的表格或图像来对已知的东西进行整理，或是引进适当的符号以使对象更易于处理） 在着手的阶段，主要的工作就是提出猜想并对猜想进行改进，这时以下的思维模式（循环程序）特别有用：（图2）对猜测进行明确的表述就所有已知的情况对猜测进行检验 弄清猜测为什么是真的或如何对它进行改进努力发现反例去驳倒猜测 就回顾的阶段而言，则应包括以下工作：对解答进行复查；对解题过程中的主要思想进行回顾；对已有的结果进行推广 可以看出，特殊化与一般化的确贯穿于整个解题过程之中另外，上述的“循环程序”事实上就是特殊化与一般化的交互作用22作为解题策略 “ 如果你不能解决所提出的问题，那么可先去解决一个