1、7如图,在中,为边上一点,为线段上一点,延长交于点。若,则 。8设,是个互不相同的正整数,且,则的最大值是 。9如图,是的直径,是的切线,交于点,若,则 。10若正整数,满足方程组,则的最大值为 。三、解答题(共4题,每小题20分,共80分)11若关于的方程有两个不相等的整数根,求的值。12如图,为的垂心,圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点,为线段的垂直平分线与圆的交点。求证:(1)垂直平分线段;(2)。13对于整数,用表示所有小于的素数的乘积。求满足条件的所有正整数。14在一个(行,列,)的表格的每个方格内填上适当的正整数,使得:(1)每一列所填的数都是1,2,3,的一个排
2、列;(即在每一列中,1,2,3,这个数出现且仅出现1次)(2)每一行个的数和都是34。当上述的填数方式存在时,求的所有可能取值。【答案】 B 【解答】如图,设轴于点。依题意,。所以,。因此,点的坐标为。【答案】 A 【解答】依题意,为方程的两个不同实根。因此,由韦达定理得,。或解:【答案】 D 【解答】方程化为 若方程有两个相等实根,则,。时,方程的根,符合要求。若是方程的根,则,此时,方程的另一个根为,符合要求。所以,符合条件的有,其总和为。【答案】 C (第4题)【解答】依题意,。由为的内心知,。所以,由等比定理知,。【解答】由,得,。 ,当且仅当,即,或,时等号成立。 的最小值为,的最小
3、值为,即。 ,当且仅当,即,或,时等号成立。 的最大值为,的最大值为,即。 。 由,得,。设,若,则;时,将代入,得,即, 由,解得。将代入方程,解得,;代入方程,解得,。 的最大值为,最小值为。因此,。【答案】(个人觉得还要补充,因为是一次函数)【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。由,得 依题意,方程有的解。 ,且,解得。故的取值范围为。或通过作图求解。【答案】 (第7题)【解答】如图,过点作交的延长线于点,则。又由,知。【答案】 63【解答】依题意,。于是,。又当,时, 所求的最大值为63。【解答】由为的直径知,。设,则,。(第9题)由条件易得, ,即。结合,得。(或由射影定理得,即
4、) ,解得或(舍去)。 ,。【答案】 84【解答】由,得结合,为正整数得,于是。 ,。 当,或,时,有最大值84。【解答】设,是方程两个不相等的整数根,则,。 ,均为整数。因此,为整数。 5分 为完全平方数。设(为整数,且)。则。于是,。 10分由于,奇偶性相同,且。 或。解得或。 15分经检验,符合要求。 20分另解:设,()是方程两个不相等的整数根。两式相减,得。将代入,得。由于,为整数,且,因此,或。当时,;时,。【解答】(1)解法一:如图,连结,。由为的垂心知,。(第12题)由、四点共圆,得。 5分又, 垂直平分线段。 10分解法二:作点关于直线的对称点。连结,。则,点在以为圆心、长为
5、半径的圆上。又,为的垂心, ,、四点共圆。因此,点也在圆上。 、两点重合。因此,、关于直线对称,即垂直平分线段。 10分(2) 连结,。依题意有。结合为线段的垂直平分线与圆的交点,知为圆的直径。又由(1),以及为的垂心知,。因此,、三点共线。 15分 20分或:通过,证明。或通过证明四边形等腰梯形,证明。【解答】解法一:若,则整除,但不能整除。因此,不符合要求。故,。 10分若,则,由,得。 15分若,则,由,得正整数不存在。 满足条件的正整数只有1个,。 20分由,得。由于是偶数,但不是4的倍数,因此,是奇数。 5分若,则含有奇数的素数因子,即为奇素数,且整除。由知,整除。由此整除1024,
6、矛盾。故,即,且为奇数。 时,又,。即,5,7,9,11。 15分将,5,7,9,11分别代入验证,时,不符合要求。时,符合要求。【解答】依题意,每列个数的和为,共列。又每行个数的和为34。所以,。又。所以,。当时,每一行1个数的和互不相同,与(2)矛盾,即符合条件的填数方式不存在。舍去。记为第行,第列所填写的数。当时,令,。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1,2,3,33;第2列自上而下各行所填的数依次为33,32,31,1时,符合要求。 10分当时,令,。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1,2,3,16;第2列自上而下各行所填的数依次为16,15,14,1;第3列同第1列;第4列同第2列时,符合要求。 15分当时, 填写方式如下:231符合要求。所以,符合题意的填数方式存在时,的所有可能取值有3种,分别为:,。 20分
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