精选浙江专用版高考数学大一轮复习第八章立体几何82空间几何体的表面积与体积教师用书文档格式.docx

1、锥体（棱锥和圆锥）S表面积S侧S底台体（棱台和圆台）S表面积S侧S上S下V（S上S下）h球S4R2VR3【知识拓展】1与体积有关的几个结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）（1）多面体的

2、表面积等于各个面的面积之和（）（2）锥体的体积等于底面积与高之积（）（3）球的体积之比等于半径比的平方（4）简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差（）（5）长方体既有外接球又有内切球（6）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.（1（教材改编）已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）A1 cm B2 cmC3 cm D. cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2 cm.2（2016全国甲卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A12 B.C8 D4答案A解析由题意可知

3、正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2（2R）212，故选A.3（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.答案8040解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的棱长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如图所示，其表面积S62224242422280（cm2），体积V2244240（cm3）4. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥PACC1A1的体积为_答案解析设点P到平面ABC，平面A1B1C1的距离分别为h1

4、，h2，则棱柱的高为hh1h2，又记SSABC，则三棱柱的体积为VSh1.而从三棱柱中去掉四棱锥PACC1A1的剩余体积为VVPABCSh1Sh2S（h1h2），从而VV1.题型一求空间几何体的表面积例1（1）（2016淮北模拟）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21B18C21 D18（2）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案（1）A（2）12解析（1）由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6（4）2（）221.故选A. （2）设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得h2，h1，斜

5、高h2，S侧6212.思维升华空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用（2016大连模拟）如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为_答案26解析该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为SS长方体表2S半圆柱底S圆柱轴截面S半圆柱侧212122212212126.题型二求空间几何体的体积命题点1求

6、以三视图为背景的几何体的体积例2（2016山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D1答案C解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，V3，故选C.命题点2求简单几何体的体积例3（2016江苏改编） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积为_m3.答案312解析由PO12 m，知O1O4PO18 m因为A1B1AB6 m，

7、所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224（m3）；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288（m3）所以仓库的容积VV锥V柱24288312（m3）思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.（1）（2016四川）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该

8、三棱锥的体积是_（2）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为（）A. B. C. D. 答案（1）（2）A解析（1） 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰长为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图（如图），且三棱锥高为h1，则体积VSh（1）1.（2）如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.题型三与球有关的切、接问题例4已知直三棱柱ABCA1B1C1的6

9、个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为（）A. B2C. D3解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.引申探究1已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3（2）332，V内切球r323.2已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体的

10、表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa

11、，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解全国丙卷）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是（）A4 B. C6 D. （2）正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B16 C9 D. 答案（1）B（2）A解析（1）由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.（2） 如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，（4r）2（）2r2，解得r，该球的表面积为4r24（）2.17巧用补形法解决立体

12、几何问题典例（2016青岛模拟） 如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_思想方法指导解答本题时可用“补形法”完成“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.答案961（2017合肥质检）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A124B188C28 D208答案D解析由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为2208，故选D.大同模拟）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形