1、A1 B123C123 D1827C设正方体的棱长为a,则其内切球半径R1;棱切球直径为正方体各面上的对角线长,则半径R2a;外接球直径为正方体的体对角线长,所以半径R3a,所以这三个球的体积之比为13()3()3123.故选C.3(2016郑州一模)一个几何体的三视图如图914所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为() 【导学号:04024089】图914A. B C2 D B由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥PABCDE,体积V,故选B.4(2017郑州二模)刘徽的九章算术注中有这样的记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也
2、”意思是说:把一块立方体沿斜线分成相同的两块,这两块叫做堑堵,再把一块堑堵沿斜线分成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积比为21,这个比率是不变的如图915是一个阳马的三视图,则其表面积为()图915A2 B2C3 D3B由三视图可得该四棱锥的底面是边长为1的正方形,有一条长度为1的侧棱垂直于底面,四个侧面三角形都是直角三角形,侧面积为21211,底面积是1,所以其表面积为2,故选B.5(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图916所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为()图916A. B2 C.3 D4B分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱锥
3、ABEDC得到的,故其体积V2232,故选B.二、填空题6(2017济南一模)已知某几何体的三视图及相关数据如图917所示,则该几何体的体积为_图917由三视图得该几何体是底面半径为1,高为2的圆锥体的一半和一个底面半径为1,高为2的圆柱体的一半的组合体,所以其体积为22.7(2017呼和浩特一模)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA平面ABC,ABBC,ASAB1,BC,则球O的表面积为_. 04024090】5因为SA平面ABC,ABBC,所以四面体SABC的外接球半径等于以长、宽、高分别为SA,AB,BC三边长的长方体的外接球半径,因为SAAB1,BC,所以2R,则R,故球O的表面积
4、为S4R25.8已知三棱锥PABC的顶点P,A,B,C在球O的球面上,ABC是边长为的等边三角形,如果球O的表面积为36,那么P到平面ABC距离的最大值为_32依题意,边长是的等边ABC的外接圆半径r1.球O的表面积为364R2,球O的半径R3,球心O到平面ABC的距离d2,球面上的点P到平面ABC距离的最大值为Rd32.三、解答题9(2016合肥二模)如图918,P为正方形ABCD外一点,PB平面ABCD,PBAB2,E为PD的中点图918(1)求证:PACE;(2)求四棱锥PABCD的表面积解 (1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,则EFADBC,即EF,BC共面PB平面ABCD,P
5、BBC,又BCAB且PBABB,BC平面PAB,BCPA.3分PBAB,BFPA,又BCBFB,PA平面EFBC,PACE 6分(2)设四棱锥PABCD的表面积为S,PB平面ABCD,PBCD,又CDBC,PBBCB,CD平面PBC,CDPC,即PCD为直角三角形,8分由(1)知BC平面PAB,而ADBC,AD平面PAB,故ADPA,即PAD也为直角三角形SABCD224,SPBCSPAB22,SPCDSPDA2, 10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD84 12分10如图919,一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱AC,BC
6、,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.图919平面DEFG平面ABB1A1;(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高04024091】因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是ABC的中位线,所以DEAB.又DE平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1,又DEDGD,所以平面DEFG平面ABB1A1 6分(2)当直三棱柱ABCA1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,ABC的面积为S,则由已知条件可知,
7、CDEABC,且SCDES,所以S四边形ABEDS. 9分由于两种状态下液体体积相等,所以V液体ShS四边形ABEDlSl,即hl.因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l 12分B组名校冲刺重庆二模)某几何体的三视图如图920所示,则该几何体的体积为()图920A. BC. D. B根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2,高为1);该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2,高为1),因此该几何体的体积为11,选B.2(2016唐山二模)某几何体的三视图如图921所示,则该几何体的体积为()图921A64
8、 B4C. D2D由三视图知,该几何体为一个底面半径为1,高为1的圆柱体,与底面半径为1,高为2的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为122,故选D.3(2017深圳二模)一个长方体被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图922所示,则该几何体的体积为() 04024092】图922A24 B48C72 D96B由三视图知,该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分,如图所示,其中C,G均为长方体对应边的中点,该平面恰好把长方体一分为二,则该几何体的体积为V64448,故选B.银川二模)点A,B,C,D在同一个球的球面上,ABBC,ABC90,若四面体ABCD
9、体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A2 B4C8 D16D因为SABC()23为定值,要使四面体ABCD的体积最大,只需点D到平面ABC的距离h最大由题意得SABCh3,解得h3,所以h的最大值为3.当h最大时,设AC的中点为E,因为ABBC,ABBC,所以AC2,DE平面ABC,且球心在DE上设球的半径为r,则r2(3r)2()2,解得r2,所以这个球的表面积为4r242216,故选D.广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为_. 04024093】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1,球半径为R,该
10、球的体积VR33.6如图923,在三棱锥ABCD中,ACD与BCD都是边长为4的正三角形,且平面ACD平面BCD,则该三棱锥外接球的表面积为_图923取AB,CD的中点分别为E,F,连接EF,AF,BF,由题意知AFBF,AFBF2,EF,易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上,所以OEOF.设外接球的半径为R,连接OA,OC,则有R2AE2OE2,R2CF2OF2,所以AE2OE2CF2OF2,()2OE222OF2,所以OF2OE22,又OEOF,则OF2,R2,所以该三棱锥外接球的表面积为4R2.7如图924,矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直,BADADC90,ABADCD,BEDF.图
11、924(1)若M为EA中点,求证:AC平面MDF;(2)若AB2,求四棱锥EABCD的体积设EC与DF交于点N,连接MN,在矩形CDEF中,点N为EC中点,因为M为EA中点,所以MNAC 2分又因为AC平面MDF,MN平面MDF,所以AC平面MDF 6分(2)取CD中点为G,连接BG,EG,平面CDEF平面ABCD,平面CDEF平面ABCDCD,AD平面ABCD,ADCD,所以AD平面CDEF,同理ED平面ABCD,7分所以ED的长即为四棱锥EABCD的高 8分在梯形ABCD中,ABCDDG,ABDG,所以四边形ABGD是平行四边形,BGAD,所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF,所以BG
12、DF,又BEDF,BEBGB,所以DF平面BEG,DFEG 10分注意到RtDEGRtEFD,所以DE2DGEF8,DE2,所以VEABCDS梯形ABCDED4 12分8如图925,在多面体ABCDM中,BCD是等边三角形,CMD是等腰直角三角形,CMD90,平面CMD平面BCD,AB平面BCD,点O为CD的中点,连接OM.图925OM平面ABD;(2)若ABBC2,求三棱锥ABDM的体积CMD是等腰直角三角形,CMD90,点O为CD的中点,OMCD 1分平面CMD平面BCD,平面CMD平面BCDCD,OM平面CMD,OM平面BCD 2分AB平面BCD,OMAB. 3分AB平面ABD,OM平面ABD,OM平面ABD 4分(2)法一:由(1)知OM平面ABD,点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离. 5分过点O作OHBD,垂足为点H.AB平面BCD,OH平面B
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