哈工大《数字电路》课件第2章 逻辑函数课堂用080908Word文件下载.docx

1、所谓或逻辑，就是可使某件事成功的诸条件中，有一即可，多也无妨；所谓非逻辑，就是表示某因素不出现，事件成立，若出现，反而不成。2-1-2 逻辑函数的运算定律及规则一、公理二、逻辑代数的运算定律 逻辑代数特有定律，（2-3b）、（2-4a）、（2-4b）、（2-5a）、（2-5b）、（2-6a） 、（2-6b）、（2-8a）、（2-8b） 、（2-10b） 无 2X及X2等的表示式，绝不会出现减“一”号。例2-1 试简化函数解 例2-2 试简化函数不论是对逻辑函数进行简化或证明，都意味着用较少的逻辑器件完成同样的功能。在逻辑代数的运算过程中，还可以利用下列几个规则（代人、对偶、反演及展开），以达到

2、化简函数的目的。三、几个基本规则（1） 代人规则：指在一个逻辑等式中，如将其中某个变量X，都代之以另一个逻辑函数，则该等式依然成立。这是因为，不论是逻辑变量或函数，都只有0和l两种取值的可能，所以用函数代变量，并不改变原等式的逻辑特性。这样，就可将上述基本逻辑定律（等式）中的变量，用另一函数代人，从而可以扩大定律的使用范围。例2-4 试在摩根律式（2-8a）， 中，以X2X3代替X2。 解： 以X2X3代X2后 式（2-8a）成为这表明摩根律可以推广到更多个变量。即：（2） 对偶规则：对于一个逻辑函数Y，如将其中的与换成或，或换成与，0换成1，1换成0，而原变量及反变量本身保持不变，经这样置换

3、后的新函数Y*，便是原函数Y的对偶函数。其实Y和Y*是互为对偶函数的。逻辑函数的对偶性是普通代数所没有的，利用逻辑函数的对偶特性，就可扩大上述定律的应用范围。应该注意的是，在一个逻辑函数表达式中，其运算顺序通常是先与后或的，除非另加括号，在求对偶式时，这个顺序仍应遵守。例2-5 写出下列函数的对偶表达式：解：上式表示，若有多个变量的与及或后再取非的话，这个非号可以不动，照样求对偶式。也可以用摩根律将其变换后再求对偶式，结果是一样的。（3） 反演规则：如将某逻辑函数Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数，便是原函数的反函数。注意：运算的先后顺序不可搞错。反演规

4、则其实就是摩根律的推广。例2 6 试求下列函数的反函数 按反演规则，可直接写出反函数： 若用摩根律，则先对原函数两边取非， 得：经整理得：（4） 展开规则：对于一个多变量函数Y=f（X1，X2，Xk），可以将其中任意一个变量，例如X1分离出来，并展开成上式的正确性不难验证，只要令Xl0或1分别代入便知。2-2 逻辑函数的真值表（truth table）2-2-l 基本逻辑函数的真值表 真值表是逻辑函数的又一种基本表示方法，它是将函数输入变量的各种组合情况，及其相应的输出（函数值）一一对应地列成的表。表2-2就是上节所述与、或及非三种基本逻辑函数的真值表。2-2-2 逻辑函数的最小项和最大项一、

5、最小项对于一个n个变量的集合，全体输入变量相乘的乘积项，称为最小项，常用mi来表示。这是因为在乘积项中，任一变量为0，mi就为0，故称为最小项。最小项的特性：（1） 对于任一最小项，只有一组输入变量的取值能使其为1。例如，m5，只有在ABC=101时，其值才为1；而对其他取值，均为0（2） 任意两个最小项的乘积恒等于0。因为变量的任一组取值，不可能使两个最小项同时为1，所以其乘积恒为0，即mimj=0。（3） 全部最小项之和恒等于1。即mi=1。二、最大项全体输入变量相加的和项，称为最大项，常用Mi来表示。这是因为在和项中，任一变量为1，Mi就为1，故称为最大项。最大项的特性：由于最大项是对应

6、最小项的反演，故可知：最大项应是只有一组输入变量的取值能使其为0；任意两个最大项之和恒等于1；全部最大项之积则恒等于02-2-3 真值表的建立将已知函数用真值表来表示，可以清楚地看出该函数所含有的最小项或最大项 例2-8 试列出函数 的真值表，并指出它含有哪几项最大项?解 如表2-4所示，这是一个三变量函数，真值表应有23=8行例2-9 试用真值表证明解 列二变量真值表如表2-5所示。表2-6 例2-10 真值表ABCY1例2-10 试建立三人表决逻辑真值表。解 设投票人为A、B及C，输入变量投赞成票时为1，投反对票时为0；表决输出逻辑变量用Y表示Y为l意味着获得多数赞成而通过Y为0表示不通过

7、列出真值表如表2-6所示该函数含有四个最小项：即m3、m5、m6、及m7这就是提案获得多数通过的四种情况表2-7 例2-11 真值表例2-11 某客厅有三扇门，每扇门口均装有客厅公共照明灯的控制开关，即从任一扇门出入，均可独立接通或断开公共照明灯的供电，试列出该厅公共照明灯控制逻辑的真值表。设公共照明灯为Y，Y为1表示灯亮，为0则灯灭；设开关为A、B及C，都是单刀双掷开关。（接0或1）设开关的起始状态为全0状态，灯是灭的Y=m1 +m2 +m4 +m72-2-4 从真值表归纳逻辑函数从已有的真值表，写出相应的逻辑函数，是逻辑设计或分析中必不可少的一步。通常，从真值表直接写出的逻辑函数有两种标准

8、形式，即最小项之和，或最大项之积。（1）最小项之和表达式 最小项之和表达式是一种积之和表达式，它是将真值表内输出为1的各行输入，以最小项形式相加而成的。如：例2-10 Y=BC+AB+AB也可化简为（2）最大项之积表达式 最大项之积表达式也是一种和之积（POS）表达式，它是将真值表内输出为0的各行输人，以最大项形式相乘而成的。仍以例2-10的表2-6来说明，这种表决逻辑可写成Y（A+B）（A+C）（B+C）可化简为：从真值表归纳函数，不论采用最小项之和，或是最大项之积的形式，其结果是等效的。实践中，究竟用哪种表达式最为合适，这要看真值表的输出列中0和1孰多孰少而定，如1少，则用最小项之和来得简

9、单；如0少，则用最大项之积为好。至于简化到哪一步，最终化成何种形式，还要根据任务的要求，或实际条件而定。2-2-5 未完全描述函数的真值表及表达式上面所讨论的函数，真值表中各行的输出都是明确的，非0即1，可称之为完全描述的逻辑函数。除此之外，还有一些函数，其真值表中有些行的输出是确定了的，但还有些行的输出是未加规定的，这就称为未完全描述函数。对这些未加规定的行，通常称它们为无关项或任意项。这是因为这些项的输入组合，可能永远不会出现，或是即使出现了，使函数输出为0或1是无所谓的，并不影响命题的实质。所以，可将它们的相应输出任意作0或作1，视需要或方便而定。Y=M（1,2,7） D（3,6）表2-

10、8 例2-12 真值表例2-12 试写出表2-8所示真值表的逻辑函数。解 表中有两行是任意项，如作l看待，函数的最小项之和表达式为Y=m（0,4,5）+d（3,6）如将任意项作0看待，则函数的最大项之积表达式为YM（1，2，7） D（3，6）上面两式中都考虑到了任意项，结果是不同。在许多情况下，适当利用任意项，有利于函数的化简，从而使实现的电路也得到简化。2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。2-3-l 卡诺图的构成卡诺

11、图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。m0m10001m2m31011二变量卡诺图BCm4m5m7m6三变量四变量卡诺图例2-13 试画出函数Yf （A，B，C，D）的卡诺图。Ym（0，1，2，8，11，13，14，15）+d（7，10）解 按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0

12、，如图2-3所示。由函数表达式填卡诺图例2-14试画出 的卡诺图。解 本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式Y=m（2，5，8，10，12，14，15）同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。 例2-15 试画出函数Y的卡诺图。YM（1，2，7）D（3，6） 解 作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量CDE AB000