三角形角平分线专题讲解精选Word文档格式.docx

1、。分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。 这里面用到了角平分线来构造全等三角形。 另外一个全 等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。自已试一试。例2 已知：如图 1-

2、3 ，2，求证此题还是利用角平分线来构造全等 三角形。构造的方法还是截取线段相等。其 它问题自已证明。分析 ：此题的条件中还有角的平分 线，在证明中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。用 到的是截取法来证明的，在长的线段上 截取短的线段，来证明。试试看可否把 短的延长来证明呢？练习1 已知在中，平分， 2 C，求证：2 已知：在中， 2 B，平分交于 E，2，求证： 23 已知：在中， 为的平分线， M为上任一点。 求证：4 已知： D是的的外角的平分线上的任一点， 连接、。 。二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边

3、距离相等的性质来证明问题。 例1 如图 2-1 ，已知 , 。 180 分析 ：可由 C向的两边作垂线。 近而证与 B 之和为平角例2 如图 2-2 ，在中， 90 ，求证：过 D 作于 E，则，则构造出全等 三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍 分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3 ，的角平分线、相交于点练习：1如图 2-4 15 ，P。的平分线也经过点 P。 分析：连接，证平分即可，也就是证 的距离相等。如果 4，则（ ）点，F为交于 F，过 F 作交于 H。求证。三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相 交，则截

4、得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线 又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延 长该线段与角的另一边相交） 。例1 已知：如图 3-1 ，于 D，H是中点。A 1 （）延长交于点 E，则可得全等三角形。问题B可证。F如图 3-2 ， 90 ，为的平 分线， . 求证： 2。角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在中，、分别 的内、外角平分线，过顶点 B 作，交的延长 线于 F，连结并延长交于 M。由、是内外角平分线， 可得，从而有，所以想到利用比例线段证

5、相等。例4 已知：如图 3-4 ，在中，平分， ，交延长线于 M。 12 （）题设中给出了角平分线， 自然想到以为轴作对称变换，1 作关于的对称，然后只需证 12 ，另外由求证的结果 21 （），即 2，也可尝试作 关于的对称，然后只需证即可。1 已知：在中， 5， 3，D是中点，是的平分线，且 于 E，连接，求。2 已知、分别是的的内角与外角的平分线，于 F，于 E，连接分别交、于 M、 N，求证 12四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。 或通过一边上的点作角平分线的平行例4如图， ,1=2，求证：例 5 如图，

6、，平分，且，求证： 180例 6 如图，、分别平分各，求证：1. 已知，如图， 2 A，2。是直角三角形2已知：如图， 2， 1=2，求证：3已知、是的角平分线， 60，求证：三 由线段和差想到的辅助线 口诀：线段和差及倍半， 延长缩短可试验。 线段和差不等式， 移到 同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时， 一般方法是截长 补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后 证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段， 然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两 线段之和大于第三边、 之差小于第三边，

7、 故可想办法放在一个三角形中证明。一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来， 可连接两点或廷长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图 1-1 ：D、 E为内两点 , 求证.证明：（法一） 将两边延长分别交、于 M、 N， 在中， ; （1） 在中， ；（ 2） 在中， ；（ 3） 由（1）+（2）+（3）得：（法二：图 1-2 ）延长交于 F，廷长交于 G，在和和中有：（三角形两边之和大于第三边）（ 1）（同上）（2）（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内

8、角时如 直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证 的大角在某个三角形的外角的位置上， 小角处于这个三角形的内 角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1 ：已知 D为内的任一点，求证： 。 因为与不在同个三角形中， 没有直接的联系， 可 适当添加辅助线构造新的三角形， 使处于在外角的位置， 处 于在内角的位置；证法一 ：延长交于点 E，这时是的外角， ，同理 ， 证法二：连接，并廷长交于 F，这时是的 外角， ，同理， ， ，即：注意：利用三角形外角定理证明不等关系时， 通常将大角放 在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上， 再利用不等式性质证明。有角平分线时

9、，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：如图 3-1 ：已知为的中线，且 1=2,3=4, 求证：。要证 ，可利用三角形三边关系定 理证明，须把，移到同一个三角形中，而由 已知 1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 对应边相等，把， ，移到同个三角形中。在上截取，连接， ，则，在和中：（辅助线作法） 1=2（已知） （公共边）（）（全等三角形对应边相等）同理可得：在中 （三角形两边之和大于第三边）当证题有角平分线时， 常可考虑在角的两边截取相等 的线段， 构造全等三角形， 然后用全等三角形的对应性质得到相 等元素。四、 截长补短法作辅助线。已知如图 6-1

10、：在中， ，1=2，P为上任一点 求证：要证： ，想到利用三角形三边关系，定理证之，因 为欲证的线段之差， 故用两边之差小于第三边， 从而想到构造第 三边，故可在上截取等于，得，再连接，则，又在中， ，即：（截长法）在上截取连接 , 在和中 （辅助线作法）1=2（已知）（公共边）（） , （全等三角形对应边相等）在中，有 （三角形两边之差小于第三边）（补短法）在和中辅助线作法）又在中有： （ 三角形两边之差小于第三边 ） 。例 2 如图，在四边形中，平分，于 E， 2， 180o例 3 已知：如图，等腰三角形中， ， 108 ，平分 求证：例 4 如图，已知中， 90，是的平分线，于 M，且1

11、 求证：1如图，、分别平分各，求证：2. 如图，中， 90，是过 A的一条直线，且 B，C在的 异侧，于 D，于 E。四 由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长 中线等中线。在三角形中， 如果已知一点是三角形某一边上的中点， 那么 首先应该联想到三角形的中线、 中位线、 加倍延长中线及其相关 性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）， 然后通过探索，找到解决问题的方法。一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，是 的中线，则 S （因为 与 是等底 同高的）。例 1如图 2， 中，是中线， 延长到 E，使，是 的中线。 已知 的面积

12、为 2，求： 的面积。解：因为是 的中线，所以 S 2=1，又因是 的中 线，故 S 1，因是 的中线，所以 S 1= 。 的面积为 。二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形中， E、F 分别是、的中点，、的 延长线分别交的延长线 G、 H。连结，并取的中点为 M，连结、，是 的中位线， ，从而三）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 中， 5， 3，连上的中线 2，求的长。延长到 E，使，则 222=4。 在 和 中， 从而 3。在 中，因 22=42+32=252，故 90， ，故 22 。故， 2，又 1= 2， 1= E，从而，即 是等腰三角形。四）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已知梯形中，