1、由此所得广度优先生成树上,从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径,路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数。但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。有时对于旅客来说,可能更关心的是节省交通费用;对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值,权的值表示两城市间的距离,或图中所需时间,或交通费用等等。此时路径长度的量度就不再是路径上边的数目,而是路径上边的权值之和。边赋以权值之后再结合最短路径算法来解决这些实际问题。Floyd算法是最短路径经典算法中形式较为简单,便于理解的一种。2 算法基本原理2.1 邻接矩阵邻接矩阵(Adjacency Matr
2、ix):是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图,其中V=v1,v2,vn。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵:(1)对无向图而言,邻接矩阵一定是对称的,而且对角线一定为零(在此仅讨论无向简单图),有向图则不一定如此。(2)在无向图中,任一顶点i的度为第i列所有元素的和,在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和,而入度为第i列所有元素的和。(3)用邻接矩阵法表示图共需要个空间,由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系,所以扣除对角线为零外,仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可,因此仅需要n/2个空间。2.2 弗洛伊德算法弗洛伊德算法使用图的邻接矩阵arcsn+1n+1来存储
3、带权有向图。算法的基本思想是:设置一个n x n的矩阵A(k),其中除对角线的元素都等于0外,其它元素a(k)ij表示顶点i到顶点j的路径长度,K表示运算步骤。开始时,以任意两个顶点之间的有向边的权值作为路径长度,没有有向边时,路径长度为,当K=0时, A (0)ij=arcsij,以后逐步尝试在原路径中加入其它顶点作为中间顶点,如果增加中间顶点后,得到的路径比原来的路径长度减少了,则以此新路径代替原路径,修改矩阵元素。具体做法为: 第一步,让所有边上加入中间顶点1,取Aij与Ai1+A1j中较小的值作Aij的值,完成后得到A(1);第二步,让所有边上加入中间顶点2,取Aij与Ai2+A2j中
4、较小的值,完成后得到A(2),如此进行下去,当第n步完成后,得到A(n),A(n)即为我们所求结果,A(n)ij表示顶点i到顶点j的最短距离。因此弗洛伊德算法可以描述为:A(0)ij=arcsij; /arcs为图的邻接矩阵A(k)ij=minA(k-1) ij,A(k-1) ik+A(k-1) kj,其中 k=1,2,n(1)定义一个n阶方阵序列: D(-1),D(0),,D(n-1).D(-1) ij = G.arcsij;D(k) ij = min D(k-1)ij,D(k-1)ik + D(k-1)kj ,k = 0,1,n-1(2)其中D(0) ij是从顶点vi 到vj中间顶点是v0
5、的最短路径的长度;D(k) ij是从顶点vi 到vj中间顶点的序号不大于k的最短路径长度;D(n-1)ij是从顶点vi 到vj 的最短路径长度。3 类设计3.1 类的概述类代表了某一批对象的共性和特征。类是对象的抽象。类这种数据类型中的数据既包含数据也包含操作数据的函数。声明类的一般形式:class 类名 private: 私有的数据和成员函数; public: 公用的数据和成员函数; ;定义对象:类名 对象名;可以在类外定义成员函数,在函数名前加上类名,“:”是作用域限定符或称作用域运算符用它说明函数式属于哪个类的。如下面程序中的void MGraph:CreateMGraph(MGraph
6、 &G) 函数体3.2 类的接口设计 #include#include stdio.husing namespace std;#define MaxVertexNum 100#define INF 32767class MGraphprivate: char vertexMaxVertexNum; /顶点信息 int edgesMaxVertexNumMaxVertexNum; /邻接矩阵 int n,e; /顶点数和边数 void CreateMGraph(MGraph &); /构造有向图 void Ppath(int100,int,int); void Dispath(int100,in
7、t100,int); /输出最短路径 void Floyd(MGraph G); /Floyd算法的具体实现;首先将所需文件名写好,定义类MGraph。在进行类体构造时将数据char vertexMaxVertexNum、int edgesMaxVertexNumMaxVertexNum和int n,e定义为私有数据,将成员函数void CreateMGraph(MGraph &)、void Ppath(int100,int,int)、void Dispath(int100,int100,int)和void Floyd(MGraph G)定义为公用的,以便非类体内的数据调用函数。3.3 类的实
8、现G)/构造有向图 int i,j,k,p; coutG.nG.e;请输入顶点元素: for (i=0;iG.n;i+) G.vertexi; for (j=0;jj+) G.edgesij=INF; if (i=j) G.edgesij=0; for (k=0;kk+) 请输入第k+1jp; G.edgesij=p;Ppath(int pathMaxVertexNum,int i,int j) /Ppath()函数在path中递归输出从顶点vi到vj的最短路径。 int k; k=pathij; if (k=-1) / pathij=i时,顶点vi和vj之间无中间顶点,也就是说找到了始节点
9、return; Ppath(path,i,k); printf(%d,k); Ppath(path,k,j); Dispath(int AMaxVertexNum,int pathMaxVertexNum,int n)/输出最短路径的算法 int i,j;n; if (Aij=INF) if (i!=j) 从%d到%d没有路径n,i,j); else 从%d到%d=路径长度:%d路径:,i,j,Aij);%d,i); Ppath(path,i,j);%dn,j);Floyd(MGraph G) int AMaxVertexNumMaxVertexNum,pathMaxVertexNumMaxV
10、ertexNum; int i,j,k; Aij=G.edgesij; pathij=-1;k+) / /向vi与vj之间中n次加入中间顶点 if (AijAik+Akj) Aij=Aik+Akj; pathij=k;/ 表示从i节点到j节点,要经过k节点 Dispath(A,path,G.n);4 基于控制台的应用程序4.1 主函数设计int main() MGraph G; G.CreateMGraph(G); G.Floyd(G); return 0;在程序的主函数部分,定义一个MGrapha类的对象G,调用成员函数CreateMGraph()和Floyd()分别完成了采用图的邻接矩阵实
11、现最短路径问题中图的存储和采用Floyd算法求每一对顶点的最短路径的任务。4.2 运行结果及分析 将待测图的相关数据输入则得到如图1的运行结果。图1 程序运行结果从图1可以看出:整个程序中的矩阵存储采用的是一维数组和动态内存分配方式。通过此类定义邻接矩阵,采用图的邻接矩阵实现最短路径问题中图的存储,然后通过主函数main调用class来实现,采用Floyd算法求每对顶点间最短路径从某个源点到其余各顶点的最短路径。将图的基本信息输入,顶点数和边数4、8,顶点元素A、B、C、D,8条弧各自的序号和权值。运行程序得出每对顶点间的最短路径长度和路径。基于Floyd算法成功的解决了最短路径问题。5 基于MFC的应用程序MFC的图形界面程序与DOS界面程序的主要不同点是:MFC图形界面程序与DOS界面程序的输
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