基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++Word格式文档下载.docx

1、由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数。但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。有时对于旅客来说，可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离，或图中所需时间，或交通费用等等。此时路径长度的量度就不再是路径上边的数目，而是路径上边的权值之和。边赋以权值之后再结合最短路径算法来解决这些实际问题。Floyd算法是最短路径经典算法中形式较为简单，便于理解的一种。2 算法基本原理2.1 邻接矩阵邻接矩阵（Adjacency Matr

2、ix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=（V,E）是一个图，其中V=v1,v2,vn。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：（1）对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），有向图则不一定如此。（2）在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。（3）用邻接矩阵法表示图共需要个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n/2个空间。2.2 弗洛伊德算法弗洛伊德算法使用图的邻接矩阵arcsn+1n+1来存储

3、带权有向图。算法的基本思想是：设置一个n x n的矩阵A（k），其中除对角线的元素都等于0外，其它元素a（k）ij表示顶点i到顶点j的路径长度，K表示运算步骤。开始时，以任意两个顶点之间的有向边的权值作为路径长度，没有有向边时，路径长度为，当K=0时, A （0）ij=arcsij，以后逐步尝试在原路径中加入其它顶点作为中间顶点，如果增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径，修改矩阵元素。具体做法为： 第一步，让所有边上加入中间顶点1，取Aij与Ai1+A1j中较小的值作Aij的值，完成后得到A（1）；第二步，让所有边上加入中间顶点2，取Aij与Ai2+A2j中

4、较小的值，完成后得到A（2），如此进行下去，当第n步完成后，得到A（n），A（n）即为我们所求结果,A（n）ij表示顶点i到顶点j的最短距离。因此弗洛伊德算法可以描述为:A（0）ij=arcsij; /arcs为图的邻接矩阵A（k）ij=minA（k-1） ij，A（k-1） ik+A（k-1） kj，其中 k=1,2,n（1）定义一个n阶方阵序列： D（-1），D（0），,D（n-1）.D（-1） ij = G.arcsij；D（k） ij = min D（k-1）ij，D（k-1）ik + D（k-1）kj ，k = 0，1，n-1（2）其中D（0） ij是从顶点vi 到vj中间顶点是v0

5、的最短路径的长度；D（k） ij是从顶点vi 到vj中间顶点的序号不大于k的最短路径长度；D（n-1）ij是从顶点vi 到vj 的最短路径长度。3 类设计3.1 类的概述类代表了某一批对象的共性和特征。类是对象的抽象。类这种数据类型中的数据既包含数据也包含操作数据的函数。声明类的一般形式：class 类名 private: 私有的数据和成员函数； public: 公用的数据和成员函数； ；定义对象：类名 对象名；可以在类外定义成员函数，在函数名前加上类名，“：”是作用域限定符或称作用域运算符用它说明函数式属于哪个类的。如下面程序中的void MGraph:CreateMGraph（MGraph

6、 &G） 函数体3.2 类的接口设计 #include#include stdio.husing namespace std;#define MaxVertexNum 100#define INF 32767class MGraphprivate: char vertexMaxVertexNum; /顶点信息 int edgesMaxVertexNumMaxVertexNum; /邻接矩阵 int n,e; /顶点数和边数 void CreateMGraph（MGraph &）; /构造有向图 void Ppath（int100,int,int）; void Dispath（int100,in

7、t100,int）; /输出最短路径 void Floyd（MGraph G）; /Floyd算法的具体实现;首先将所需文件名写好，定义类MGraph。在进行类体构造时将数据char vertexMaxVertexNum、int edgesMaxVertexNumMaxVertexNum和int n,e定义为私有数据，将成员函数void CreateMGraph（MGraph &）、void Ppath（int100,int,int）、void Dispath（int100,int100,int）和void Floyd（MGraph G）定义为公用的，以便非类体内的数据调用函数。3.3 类的实

8、现G）/构造有向图 int i,j,k,p; coutG.nG.e;请输入顶点元素: for （i=0;iG.n;i+） G.vertexi; for （j=0;jj+） G.edgesij=INF; if （i=j） G.edgesij=0; for （k=0;kk+） 请输入第k+1jp; G.edgesij=p;Ppath（int pathMaxVertexNum,int i,int j） /Ppath（）函数在path中递归输出从顶点vi到vj的最短路径。 int k; k=pathij; if （k=-1） / pathij=i时,顶点vi和vj之间无中间顶点,也就是说找到了始节点

9、return; Ppath（path,i,k）; printf（%d,k）; Ppath（path,k,j）; Dispath（int AMaxVertexNum,int pathMaxVertexNum,int n）/输出最短路径的算法 int i,j;n; if （Aij=INF） if （i!=j） 从%d到%d没有路径n,i,j）; else 从%d到%d=路径长度:%d路径:,i,j,Aij）;%d,i）; Ppath（path,i,j）;%dn,j）;Floyd（MGraph G） int AMaxVertexNumMaxVertexNum,pathMaxVertexNumMaxV

10、ertexNum; int i,j,k; Aij=G.edgesij; pathij=-1;k+） / /向vi与vj之间中n次加入中间顶点 if （AijAik+Akj） Aij=Aik+Akj; pathij=k;/ 表示从i节点到j节点,要经过k节点 Dispath（A,path,G.n）;4 基于控制台的应用程序4.1 主函数设计int main（） MGraph G; G.CreateMGraph（G）; G.Floyd（G）; return 0;在程序的主函数部分，定义一个MGrapha类的对象G，调用成员函数CreateMGraph（）和Floyd（）分别完成了采用图的邻接矩阵实

11、现最短路径问题中图的存储和采用Floyd算法求每一对顶点的最短路径的任务。4.2 运行结果及分析 将待测图的相关数据输入则得到如图1的运行结果。图1 程序运行结果从图1可以看出：整个程序中的矩阵存储采用的是一维数组和动态内存分配方式。通过此类定义邻接矩阵，采用图的邻接矩阵实现最短路径问题中图的存储，然后通过主函数main调用class来实现，采用Floyd算法求每对顶点间最短路径从某个源点到其余各顶点的最短路径。将图的基本信息输入，顶点数和边数4、8，顶点元素A、B、C、D，8条弧各自的序号和权值。运行程序得出每对顶点间的最短路径长度和路径。基于Floyd算法成功的解决了最短路径问题。5 基于MFC的应用程序MFC的图形界面程序与DOS界面程序的主要不同点是：MFC图形界面程序与DOS界面程序的输