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1、（2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环节中需要考虑的准则。该层可由若干层次组成，因而有准则和子准则之分，这一层也叫准则层；（3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构被称为递阶层次结构。当然，上一层元素可以支配下层的所有元素，但也可只支配其中部分元素。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，可不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。层次结构的好坏对于解决问题极为重要，当然，层次结构建立得好坏与决策者对问题的

2、认识是否全面、深刻有很大关系。3构造两两比较判断矩阵在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素为u1,u2,un对于准则C相对重要性即权重。这通常可分两种情况：（1）如果u1,u2,un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重量等），其权重可直接确定。（2）如果问题复杂，u1,u2,un对于C的重要性无法直接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度如何，通常按19比例标度对重要性程度赋值，下表中列出了19标度的含义。表1 标度的含义标度含义1表示两个元素相比，具有同样重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示

3、两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值倒数若元素与的重要性之比为，那么元素与元素重要性之比为对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵其中就是元素和相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质：， 由判断矩阵所具有的性质知，一个n个元素的判断矩阵只需要给出其上（或下）三角的n（n-1）/2个元素就可以了，即只需做n（n-1）/2个比较判断即可。若判断矩阵A的所有元素满足，则称A为一致性矩阵。不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况

4、下才有可能满足一致性条件。4单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验已知n个元素u1,u2,un对于准则C的判断矩阵为A，求u1,u2,un对于准则C的相对权重写成向量形式即为（1）权重计算方法。和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重向量，即 计算步骤如下：第一步：A的元素按行归一化；第二步：将归一化后的各行相加；第三步：将相加后的向量除以n，即得权重向量。类似的还有列和归一化方法计算，即 根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为A的元素按列相乘得一新向量；将新向量的每个分量开n次方；将所得向量归一

5、化后即为权重向量。特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题式中，是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。对数最小二乘法。用拟合方法确定权重向量，使残差平方和为最小。最小二乘法。确定权重向量，使残差平方和为最小。（2）一致性检验.在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求严格成立，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵

6、有可能导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：计算一致性指标C.L. （consistency index）查找相应的平均随机一致性指标R.I.（random index）下表给出了115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标。表2平均随机一致性指标R.I.矩阵阶数2468R.L0.520.891.121.261.361.41101112131415R.L1.461.491.521.541.561.581.59计算性一致性比例C.R.（consist

7、ency ratio）当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.0.1时，应该对判断矩阵做适当修正。为了讨论一致性，需要计算矩阵最大特征根，除常用的特征根方法外，还可使用公式计算各层元素对目标层的总排序权重。上面得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。最终要得到各元素，特别是最低层中各元素对于目标的排序权重，即所谓总排序权重，从而进行方案的选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。设表示第k-1层上nk-1个元素相对于总目标的排序权重向量，用表示第k层上nk个元素对第k-1层上第j个元素为准则的排序权重向量，其中不受j元素支

8、配的元素权重取为零。矩阵是nknk-1阶矩阵，它表示第k层上元素对k-1层上各元素的排序，那么第k层上元素对目标的总排序W（k） 为或 并且一般公式为 其中（W2）是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。要从上到下逐层进行一致性检难，若已求得k-1层上元素j为准则的一致性指标C.I.j（k）,平均随机一致性指标R.I.j（k），一致性比例C.R. j （k）（其中j=1,2,nk-1），则k层的综合指标当C.R.（k）0.1时，认为递阶层次结构在k层水平的所有判断具有整体满意的一致性。 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是对一些

9、较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（）建立递阶层次结构模型；（）构造出各层次中的所有判断矩阵；（）层次单排序及一致性检验；（）层次总排序及一致性检验。下面分别

10、说明这四个步骤的实现过程。1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：（）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。（）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。（）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层

11、或方案层。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。例1 假期旅游有、3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如下的层次结构模型。目标层 选择旅游地 准则层 景色 费用 居住 饮食 旅途措施层 1.2 构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们

12、各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成小块，你可以精确称出它们的重量，设为，现在，请人估计这小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。设现在要比较个因子对某因素的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子和，以表示和对的影响大小之比，全部比较结果用矩阵表示，称为之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若与对的影响之比为，则与对的影响之比应为。定义1 若矩阵满足（），（）（）则称之为正互反矩阵（易见，）。关于如何确定的值，Saaty等建议引用数字19及其倒数作为标度。下表列出了19标度的含义：含 义2，4