1、OAF是等边三角形。AOF=60ABF=AOF=30(3)过点C作CGBE于点G,由CE=CB,EG=BE=5。易证RtADERtCGE,sinECG=sinA=,。又CD=15,CE=13,DE=2,由RtADERtCGE得,即,解得。O的半径为2AD=。【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。【分析】(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明BC是O的切线。(2)连接OF,AF,BF,首先证明OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF
2、的度数。(3)过点C作CGBE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2,由RtADERtCGE求出AD的长,从而求出O的半径。25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知:在ABC中,ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MNAC于点N,PQAB于点Q,A0=MN(1)如图l,求证:PC=AN;(2) 如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,DKE=ABC,EFPM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长BAAM,MNAP,B
3、AM=ANM=90 PAQ+MAN=MAN+AMN=90,PAQ=AMN。PQAB MNAC,PQA=ANM=90AQ=MN。AQPMNA(ASA)。AN=PQ,AM=AP。AMB=APM。APM=BPCBPC+PBC=90,AMB+ABM=90,ABM=PBC。PQAB,PCBC,PQ=PC(角平分线的性质)。PC=AN。(2)NP=2 PC=3,由(1)知PC=AN=3。AP=NC=5,AC=8。AM=AP=5。PAQ=AMN,ACB=ANM=90,ABC=MAN。,BC=6。NEKC,PEN=PKC。又ENP=KCP,PNEPCK。CK:3,设CK=2k,则CF=3k。,。过N作NTEF
4、交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。NE=TF=,CT=CFTF=3k。EFPM,BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT,NTC=BFH=BPC。CT= 。CK=2=3,BK=BCCK=3。PKC+DKC=ABC+BDK,DKE=ABC,BDK=PKC。tanBDK=1。过K作KGBD于G。tanBDK=1,tanABC=,设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。BK=5n=3,n=。BD=4n+3n=7n=。,AQ=4,BQ=ABAQ=6。DQ=BQBD=6。【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角
5、三角形的判定和性质,解直角三角形。(1)确定一对全等三角形AQPMNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定PKC是等腰直角三角形;然后在BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26. (2012湖北十堰10分)如图1,O是ABC的外接圆,AB是直径,ODAC,且CBD=BAC,OD交O于点EBD是O的切线;(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;(3)作CFAB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值AB是O的直径,BCA=90ABC+BAC
6、=90又CBD=BAC,ABC+CBD=90ABD=90OBBD。BD为O的切线。(2)证明:如图,连接CE、OC,BE, OE=ED,OBD=90,BE=OE=ED。OBE为等边三角形。BOE=60又ODAC,OAC=60又OA=OC,AC=OA=OE。ACOE且AC=OE。四边形OACE是平行四边形。而OA=OE,四边形OACE是菱形。(3)CFAB,AFC=OBD=90又ODAC,CAF=DOB。RtAFCRtOBD。,即。又FGBD,AFGABD。【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱
7、形的判定,相似三角形的判定和性质。(1)由AB是O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90,则ABC+BAC=90,而CBD=BA,得到ABC+CBD=90,即OBBD,根据切线的判定定理即可得到BD为O的切线。(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则OBE为等边三角形,于是BOE=60,又因为ACOD,则OAC=60,AC=OA=OE,即有ACOE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。(3)由CFAB得到AFC=OBD=90,而ODAC,则CAF=DOB,根据相似三角形的判定
8、易得RtAFCRtOBD,则有,即,再由FGBD易证得AFGABD,则,即,然后求FG与FC的比即可。27. (2012江苏镇江11分)等边ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边APD和等边APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。AM=AN;(2)设BP=x。若,BM=,求x的值;记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。ABC
9、、APD和APE都是等边三角形, AD=AP,DAP=BAC=600,ADM=APN=600。DAM=PAN。 ADMAPN(ASA),AM=AN。(2)易证BPMCAP, BN=,AC=2,CP=2x,即。 解得x=或x=。 四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠部分的面积。 ADMAPN,。如图,过点P作PSAB于点S,过点D作DTAP于点T,则点T是AP的中点。在RtBPS中,P=600,BP=x,PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。AB=2,AS=ABBC=2x。当x=1时,S的最小值为。连接PG,设DE交AP于点O。若BAD=150,DAP =600,
10、PAG =450。APD和APE都是等边三角形,AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t,在RtBPG中,B=600,BP=2t,PG=。AG=PG=。,解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时,BAD=150。猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形,AODE,ADO=AEH=300。BAD=150,易得AGO=450,HAO=150,EAH=450。设AO=a,则AD=AE=2 a,OD=a。DG=DOGO=(1)a。又BAD=150,BAC=6
11、00,ADO=300,DHA=DAH=750。DH=AD=2a,GH=DHDG=2a(1)a=(3)a,HE=2DODH=2a2a=2(1)a。,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。(1)由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。 (2)由BPMCAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。 应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得,用x的代
12、数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。由BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。28. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),BPEACB,PE交BO于点E,过点B作BFPE,垂足为F,交AC于点G(1) 当点P与点C重合时(如图)求证:BOGPOE;(4分)(2)通过观察、测量、猜想: = ,并结合图证明你的猜想;(5分)(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图),若ACB=,求的值(用含的式子表示)(5分) 四边形ABCD是正方形,P与C重合,OB=OP , BOC=BOG=90PFBG ,PFB=90,GBO=90BGO,EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE(AAS)。(2)。证明如下:如图,过P作PM/AC交BG于M,交BO于N,PNE=BOC=900, BPN=OCB。OBC=OCB =450, NBP=NPB。NB=NP。MBN=900
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