5.1大数定律PPT文档格式.ppt

1、设设X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为f（x）随机变量随机变量X具有数学期望具有数学期望E（X）和方差和方差D（X），则对于任意正数则对于任意正数定理定理5.1.1（切比雪夫不等式（切比雪夫不等式 ）设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E（X）和方差和方差D（X），则对于任意正数则对于任意正数，有，有切比雪夫切比雪夫（1）它对所有的随机变量都成立，不需要知道它对所有的随机变量都成立，不需要知道X 的具体分布。可以近似估计事件的概率；的具体分布。（2）可以说明方差的概率含义；可以说明方差的概率含义；切比雪夫不等式的意义切比雪夫不等式的意义由切比雪夫不等式可以

2、看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若D（X）越小，越小，则事件则事件|X-E（X）|0）试用试用切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式估计估计X落在区间落在区间（3，+3）内的概率。内的概率。解解P 3 X +3 例例2 2已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平平均值是均值是7300，均方差是，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。之间的概率。解解设设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则表示每毫升血液中含白细胞个数，则2.2.已知随机变量已知

3、随机变量X的期望为的期望为E（X）=10,方差方差为为D（X）=4，由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式,若若P|X-10|c0.04,则则c=.1010 3.3.设随机变量设随机变量X 和和Y 的数学期望分别为的数学期望分别为2和和-2 2，方差分别为方差分别为1和和 4，而相关系数为，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有则根据切比雪夫不等式有例例4、一颗骰子连续掷一颗骰子连续掷4次，点数总和记为次，点数总和记为X，估计估计P10X18.【解解】设设Xi表每次掷的点数，则表每次掷的点数，则P10X0 设设随随机机变变量量 相相互互独独立立，且且具具有有相同的数学期望和方差相同的数学期望和方

4、差 （k=1,2,.）,则对任意的则对任意的0 ，有，有定理定理5.1.2（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）描述了大数量的随机试验的描述了大数量的随机试验的平均结果的稳定性，平均结果的稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性它揭示了随机现象的一种统计规律性.切比雪夫大数定律的意义切比雪夫大数定律的意义与其数学期望与其数学期望偏差很小的偏差很小的概率接近于概率接近于1.定义定义5.1.1（依概率收敛）（依概率收敛）设随机序列设随机序列a是一个常数，若对于给定的正数是一个常数，若对于给定的正数 ，有有则称序列则称序列依依概率收敛于概率收敛于a.设设随随机机变变量量 相相互互独独立立，且且具具有

5、相同的数学期望和方差：有相同的数学期望和方差：（k=1,2,.）,则序列则序列定理定理5.1.2（依概率收敛）（依概率收敛）.设设是随机变量序列，是随机变量序列，a为常数，则为常数，则依概率收敛于依概率收敛于a是指是指（）B.C.任意任意D.A.任意任意A设设每每次次实实验验中中事事件件A发发生生的的概概率率为为p，每每次次实实验验中中事事件件A发发生生的的次次数数为为Xi,（i=1,2,n）,事事件件A在在n次独立重复试验中发生的次数为次独立重复试验中发生的次数为nA，当试验次数当试验次数n+时时,则对任意的则对任意的0，有，有定理定理5.1.3（伯努利大数定理伯努利大数定理）设设每每次次实

6、实验验中中事事件件A发发生生的的概概率率为为p，则则事事件件A在在n次次独独立重复试验中发生的次数立重复试验中发生的次数，当试验次数，当试验次数时，则对任意的时，则对任意的0，有，有当重复试验次数当重复试验次数n充分大充分大时，事件时，事件A发生的频发生的频率率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有有较大偏差较大偏差的的概率很概率很小小.贝努里大数定律的意义贝努里大数定律的意义注：注：贝努里大数定律贝努里大数定律与与切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律都需要用切比雪夫不等式来证明，因此，都需要用切比雪夫不等式来证明，因此，必须知道方差必须知道方差.注意注意:这里并没有要求方差存在这里并没有要求方差

7、存在定理定理5.1.4（辛钦大数定理）（辛钦大数定理）设随机变量序列设随机变量序列Xn是是独立同分布的独立同分布的，且有相同的期望且有相同的期望,（n=1,2,.）,则对任意的则对任意的0，有，有辛钦辛钦辛钦辛钦大数定律的意义大数定律的意义2.辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径提供了一条实际可行的途径.当当n无限增大时，无限增大时，n个独立同分布的随机变个独立同分布的随机变量算术平均值量算术平均值几乎等于常数几乎等于常数1.因此可用算术平均值作为因此可用算术平均值作为的估计的估计例如要估计某地区的平均亩产量，则要收例如要估计某地区的平均

8、亩产量，则要收割某些有代表性的地块，例如割某些有代表性的地块，例如n 块块.计算其平均计算其平均亩产量亩产量，则当，则当n较大时，较大时，可用它作为整个地区平可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计均亩产量的一个估计.设随机变量设随机变量则根据则根据辛钦大数定律，辛钦大数定律，当当n时，时，依概率收敛于其共同的依概率收敛于其共同的数学期望，只要数学期望，只要（）A、有相、有相同的同的数学期望；数学期望；B、服从同一离散型分布；、服从同一离散型分布；C、服从同一均匀分布；、服从同一均匀分布；D、服从同一连续型分布、服从同一连续型分布相互独立同分布，且相互独立同分布，且数学期望存在。数学期望存在。相

9、互独立，相互独立，解：解：辛钦大数定律的条件是：随机变量随机变量第第i次抛掷出点数次抛掷出点数为为Xi由辛钦大数定律，得由辛钦大数定律，得n次抛掷出点数的算术平均值次抛掷出点数的算术平均值相互独立且服从同一分布，相互独立且服从同一分布，依概率收敛的极限为依概率收敛的极限为 将一枚均匀的骰子独立地重复抛掷将一枚均匀的骰子独立地重复抛掷n n次，次，当当n n 时，应用大数定律求时，应用大数定律求n n次抛出次抛出点数的算术平均点数的算术平均值值 依概率收敛的依概率收敛的极限极限1 1/6/61 1/6/61 1/6/61 1/6/61 1/6/61 1/6/6p p6 65 54 43 32 21 1iX大数定律之特点大数定律之特点 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性伯努利大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律辛钦大数定律切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律大大数数定定律律