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1、p加法原理又称加法原理又称分类计数原理分类计数原理。4组合数学组合数学乘法原理p实例实例1-2 从甲地到丙地只能乘汽车，从丙从甲地到丙地只能乘汽车，从丙地到乙地只能乘轮船。一天中，从甲地地到乙地只能乘轮船。一天中，从甲地到丙地的汽车有到丙地的汽车有3个班次，从丙地到乙地个班次，从丙地到乙地的轮船有的轮船有2个班次。某人计划第个班次。某人计划第1天从甲天从甲地到丙地，第地到丙地，第2天从丙地到乙地。那么某天从丙地到乙地。那么某人完成一次旅行共有多少种不同的走法人完成一次旅行共有多少种不同的走法呢？呢？5组合数学组合数学p这类问题有这样一个共同的特点：完成这类问题有这样一个共同的特点：完成一件事，

2、需要分成几个步骤，每一个步一件事，需要分成几个步骤，每一个步骤又有多种不同方法，必须经过每一个骤又有多种不同方法，必须经过每一个步骤（只要其中的某一个方法）才能完步骤（只要其中的某一个方法）才能完成这件事。成这件事。6组合数学组合数学p乘法原理乘法原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步个步骤，做第骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn （1-2）种不同的方法。p乘法原理又称乘法原理又称分步计数原理分步计数原理。7组合数

3、学组合数学p定义定义1-1 设设S是有限集合，是有限集合，若，若（1）；（2）;（3）；则称则称A为集合为集合S的一个的一个划分划分，其中，其中 称为该划分的称为该划分的块块。8组合数学组合数学p加法原理的另一种表述加法原理的另一种表述 设设为集合为集合S的划分，则的划分，则S中元素的个数等于中元素的个数等于该划分的每一块中元素的和，即该划分的每一块中元素的和，即9组合数学组合数学p乘法原理的另一种表述乘法原理的另一种表述 设设S是是n元组元组 的集合，其中第一个元的集合，其中第一个元素素 有有 种选择，第二个元素种选择，第二个元素 有有 种种选择，第选择，第n个元素个元素 有有 种选择，则种

4、选择，则S中中元素的个数为元素的个数为10组合数学组合数学p补充例题补充例题1 用用a，b，c，d，e这这5个字母个字母构成含有构成含有3个字母的字符串，允许字母个字母的字符串，允许字母重复且必须包含字母重复且必须包含字母a，总共能构成多，总共能构成多少个字符串？少个字符串？p解解 （1）a 型：型：（2）a 型：（3）a型：25201661（个）（个）5525（个）（个）4520（个）（个）4416（个）（个）11组合数学组合数学2.线线排列排列线排列p实例实例1-3 从甲、乙、丙、丁从甲、乙、丙、丁4名同学中名同学中推选推选2名分别参加两个会议，其中名分别参加两个会议，其中1名同名同学参加

5、校团委的座谈会，另学参加校团委的座谈会，另1名同学参加名同学参加教务处的座谈会，有多少不同的推选方教务处的座谈会，有多少不同的推选方案？案？12组合数学组合数学p定义定义1-2 从含从含n个元素的集合个元素的集合 中任取中任取r（rn）个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，称为按照一定的顺序排成一列，称为S的一个的一个r-排列排列。所有这些。所有这些r-排列的个数，称为排列的个数，称为S的的r-排列数排列数，记为，记为 。如果。如果rn，则称，则称为为S的的全排列全排列，简称为，简称为S的的排列排列。p定理定理1-1 设设 Z+，当，当rn时，有时，有 （1-3）13组合数学组合数学p证明证

6、明 该定理相当于有该定理相当于有r个顺序摆放的盒个顺序摆放的盒子，每个盒子必须而且只能放集合子，每个盒子必须而且只能放集合S（含（含n个元素）中的个元素）中的1个元素。个元素。第第1个盒子有个盒子有n种选法。种选法。第第2个盒子只能有个盒子只能有n1种选法。第第3个盒子只能有个盒子只能有n2种选法。14组合数学组合数学第第m个盒子有个盒子有n（r1）nr1种选种选法。法。根据乘法原理，不同的放置方法数为根据乘法原理，不同的放置方法数为 p正整数正整数1到到n的连乘称为的连乘称为n的阶乘的阶乘 n!n（n1）（n2）21 （1-4）p定义定义 。15组合数学组合数学p引用阶乘记号，公式引用阶乘记

7、号，公式（1-3）可以写成可以写成 （1-5）p对于全排列有对于全排列有 （1-6）p推论推论1 当当nr2时，有时，有 （1-8）p推论推论2 当当nr2时，有时，有 （1-9）16组合数学组合数学p推论推论2证明证明 当当r2时，把集合时，把集合S的的r-排列排列分为两类：第一类含有分为两类：第一类含有S中的某个元素，中的某个元素，比如比如 ；第二类不含；第二类不含 。对于第一类对于第一类r-排列，可以这样选取排列，可以这样选取r-排列排列中的元素：先从集合中的元素：先从集合 中选中选r1个个元素进行排列，共有元素进行排列，共有 个这样的排列。个这样的排列。17组合数学组合数学对于上述每一

8、个排列，再将对于上述每一个排列，再将 插入其中插入其中就得到一个就得到一个r-排列；显然，将排列；显然，将 插入其中插入其中有有r个不同位置。因此第一类排列共有个不同位置。因此第一类排列共有 种取法。种取法。第二类第二类r-排列实际上是集合排列实际上是集合 的的r-排排列，因此共有列，因此共有 个这样的排列。再由加个这样的排列。再由加法原理得法原理得18组合数学组合数学p补充例题补充例题2 对于组成英文单词对于组成英文单词CHINA的的5个字个字母，解答下列问题：母，解答下列问题：（1）这）这5个字母一共可以构成多少个没有重复个字母一共可以构成多少个没有重复字母的字符串？字母的字符串？（2）如

9、果要求字母）如果要求字母A不能排在左边第不能排在左边第1位，可以位，可以构成多少个没有重复字母且长度为构成多少个没有重复字母且长度为5的字符串的字符串？（3）如果要求字母）如果要求字母A和和I不相邻，可以构成多少不相邻，可以构成多少个没有重复字母且长度为个没有重复字母且长度为5的字符串？的字符串？19组合数学组合数学（1）这）这5个字母一共可以构成多少个没有个字母一共可以构成多少个没有重复字母的字符串？重复字母的字符串？p解解（2）如果要求字母）如果要求字母A不能排在左边第不能排在左边第1位，位，可以构成多少个没有重复字母且长度为可以构成多少个没有重复字母且长度为5的字符串？p解解20组合数学

10、组合数学（3）如果要求字母）如果要求字母A和和I不相邻，可以构不相邻，可以构成多少个没有重复字母且长度为成多少个没有重复字母且长度为5的字符的字符串？串？p解解21组合数学组合数学3.圆圆排列排列圆排列p实例实例1-4 （a）（b）（c）22组合数学组合数学p下图中，下图中，（a）和和（b）是同一种坐法，而是同一种坐法，而（c）是和是和（a）、（b）不同的坐法。不同的坐法。（a）（b）（c）23组合数学组合数学p方法一方法一 先将其中的某人，例如先将其中的某人，例如A坐在某坐在某个位置，然后其他人按顺时针挑选位置个位置，然后其他人按顺时针挑选位置入座。因此，共有入座。因此，共有5!种不同的排列

11、。p方法二方法二 先假定圆桌旁的位置是编号的，先假定圆桌旁的位置是编号的，这样，共有这样，共有6!在位置没种不同的排列。在位置没有编号的情况下，前面得到的有编号的情况下，前面得到的6!种不同种不同的排列通过转圈得到的的排列通过转圈得到的6种排列只能算一种排列只能算一种。所以，实际上共有种。所以，实际上共有 种不同的排种不同的排列。列。24组合数学组合数学p定义定义1-3 从含从含n个元素的集合个元素的集合 中任取中任取r（rn）个元素，个元素，按照一定的顺序（如逆时针）排成一个按照一定的顺序（如逆时针）排成一个圆圈，称这样的圆圈，称这样的r-排列为排列为S的一个的一个圆排列圆排列。圆排列又称为

12、圆排列又称为循环排列循环排列。25组合数学组合数学p定理定理1-2 设设 Z+，当，当rn时，从含时，从含n个个元素的集合中任取元素的集合中任取r（rn）个元素构成圆个元素构成圆排列，其排列数为排列，其排列数为 （1-9）26组合数学组合数学p补充例题补充例题3 3对夫妇围坐在一张圆桌旁。对夫妇围坐在一张圆桌旁。AB、CD、EF各是一对夫妇；其中，各是一对夫妇；其中，A、C、E是夫人，是夫人，B、D、F是先生。解答下是先生。解答下列问题：列问题：（1）如果要求每对夫妇都相邻就坐，有）如果要求每对夫妇都相邻就坐，有多少种不同的排列？多少种不同的排列？（2）如果要求男女交替坐，有多少种不）如果要求

13、男女交替坐，有多少种不同的排列？同的排列？27组合数学组合数学p解解 （1）每对夫妇都相邻就坐每对夫妇都相邻就坐（2）男女交替坐男女交替坐28组合数学组合数学4.多重多重排列排列多重排列p实例实例1-5 某店员要给一个水果篮装某店员要给一个水果篮装5个水个水果。现在有苹果、橙子和桃子果。现在有苹果、橙子和桃子3种水果可种水果可供挑选，每种水果都超过供挑选，每种水果都超过5个，并认为同个，并认为同一种水果相互间是无区别的。一共有多一种水果相互间是无区别的。一共有多少种挑选方法？如果必须至少装少种挑选方法？如果必须至少装1个苹果、个苹果、1个橙子和个橙子和1个桃子，又有多少种挑选方个桃子，又有多少

14、种挑选方法？法？29组合数学组合数学p定义定义1-4 多重集是含有重复元素的集合，多重集是含有重复元素的集合，记为记为 。其中，。其中，是元素是元素 在该集合中出现在该集合中出现的次数，的次数，叫做元素叫做元素 的的重复数重复数。p如果多重集中的某些元素可以无限地重如果多重集中的某些元素可以无限地重复，则其重复数用复，则其重复数用 表示，例如表示，例如 中，中，的重复数是的重复数是3，可以无限地重复。可以无限地重复。30组合数学组合数学p定义定义1-5 从多重集从多重集 中中任取任取 个元素，按照一个元素，按照一定的顺序排列，称这种定的顺序排列，称这种r-排列为排列为多重排多重排列列。p定理定理1-3 多重集多重集 的的r-排列的个数为排列的个数为 。p推论推论 对于多重集对于多重集 的的r-排列，如果所有元素的重复数都不小