1、4. 如图,在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45,再将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1,又将线段OP1按逆时针方向旋转45,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2,如此下去,得到线段OP3,OP4,OPn(为正整数)(1)求点P3的坐标;(2)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n0,1,2,3)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称为点Pn的“绝对坐标”,根据图中Pn的分布规律,求出点Pn的“绝对坐标”第4题图考向2)几何类(杭州:xx.19;台州:xx.23,xx、xx.24;绍兴:xx.22,xx.22
2、,xx.21)针对训练1. (xx绍兴)定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图,等腰直角四边形ABCD,ABBC,ABC90. 若ABCD1,ABCD,求对角线BD的长;若ACBD,求证:ADCD.(2)如图,在矩形ABCD中,AB5,BC9,点P是对角线BD上一点,且BP2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形求AE的长第1题图2. 阅读下面的材料:如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行
3、四边形”,如图,ABEF即为ABC的“友好平行四边形”请解决下列问题:(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”;(2)若ABC是钝角三角形,则ABC显然只有一个“友好矩形”,若ABC是直角三角形,其“友好矩形”有_个;(3)若ABC是锐角三角形,且ABACBC,如图,请画出ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的“友好矩形”,并说明理由第2题图)3. (xx常州)如图,在四边形ABCD中,如果对角线AC和BD相交并且相等,那么我们把这样的四边形称为等角线四边形(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中,_一定是等角线四边形(填写图形名称);若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD
4、四边AB、BC、CD、DA的中点,当对角线AC、BD还需要满足_时,四边形MNPQ是正方形;(2)如图,已知ABC中,ABC90,AB4,BC3,D为平面内一点若四边形ABCD是等角线四边形,且ADBD,则四边形ABCD的面积是_;设点E是以C为圆心,1为半径的圆上的动点,若四边形ABED是等角线四边形,写出四边形ABED面积的最大值,并说明理由4. (xx黄石)在现实生活中,我们经常会看到许多“标准”的矩形,如我们的课本封面、A4的打印纸等,其实这些矩形的长与宽之比都为1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”在“标准矩形”ABCD中,P为DC边上一定点,且CPBC,如下图所示(1)如图,求
5、证:BABP;(2)如图,点Q在DC上,且DQCP,若G为BC边上一动点,当AGQ的周长最小时,求的值;(3)如图,已知AD1,在(2)的条件下,连接AG并延长交DC的延长线于点F,连接BF,T为BF的中点,M、N分别为线段PF与AB上的动点,且始终保持PMBN,请证明:MNT的面积S为定值,并求出这个定值5. 对于一个四边形给出如下定义:如一组对角相等且有一组邻边相等,则称这个四边形为奇特四边形,如图中,BD,ABAD;如图中,AC,ABAD则这样的四边形均为奇特四边形(1)在图中,若ABAD4,A60,C120,请求出四边形ABCD的面积;(2)在图中,若ABAD4,AC45,请直接写出四
6、边形ABCD面积的最大值;(3)如图,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,F是AD延长线上一点,且BEDF,连接EF,取EF的中点G,连接CG并延长交AD于点H,若EBBCm,问四边形BCGE的面积是否为定值?如果是,请求出这个定值(用含m的代数式表示);如果不是,请说明理由第5题图6. 类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”(1)如图,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件;(2)小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说明理由;(3)如图,小红作了一个RtABC,其中AB
7、C90,AB2,BC1,并将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC,连接AA,BC.小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB的长)?第6题图7. (xx江西)我们定义:如图,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”特例感知(1)在图,图中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”如图,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD_BC;如图,当BAC
8、90,BC8时,则AD长为_猜想论证(2)在图中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明拓展应用(3)如图,在四边形ABCD中,C90,D150,BC12,CD2,DA6.在四边形内部是否存在点P,使PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由第7题图答案1. 解:(1)不是理由如下:解方程x2x120,得x14,x23,|x1|x2|432|3.5|,3.5不是整数,方程x2x120不是“偶系二次方程”;(2)存在理由如下:方程x26x270,x26x270是“偶系二次方程”,假设cmb2n,当b6,c27时,有273
9、6mn,x20是“偶系二次方程”,n0,m,cb2.又x23x0也是“偶系二次方程”,当b3时,c32,可设cb2,对任意一个整数b,当cb2时,b24acb24c4b2,x,x1b,x2b,|x1|x2|b|b|2|b|.b是整数,对于任意一个整数b,存在实数c,当且仅当cb2时,关于x的方程,x2bxc0是“偶系二次方程”2. 解:(1)yx2x1,y(x)2,二次函数yx2x1的顶点坐标为(,),二次函数yx2x1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(,),反倍顶二次函数的解析式为y(x)2x2x;(2)y1y2x2nxnx2x(n1)x2(n1)x(n1)(x2x)(n1)(x)2,顶
10、点的坐标为(,),y1y2x2nxnx2x(1n)x2(n1)x(1n)(x2x)(1n)(x)2,顶点的坐标为(,),由于函数y1y2恰是y1y2的“反倍顶二次函数”,则2,解得n.3. 解:(1)y2x3;【解法提示】令xx得y2x3.(2)yx23x5;【解法提示】令xx得yx23x5.(3) 如解图,作CCx轴,BBx轴,AAx轴垂足分别为C、B、A,第3题解图设点B(m,),A(n,),其中m0,n0,由题意,将x1代入y中解得y2,点C(1,2),CC2,BB ,AA ,又ABnm,BCm1,CCBBAA,CBAB12, 则BCAB12,则,消去n化简得到3m22m30, 解得m或
11、(舍弃), ,点B坐标为(,)4. 解:(1)根据题意,得OP32OP24OP18OP08, 根据等腰直角三角形的性质,得P3(4,4);(2)由题意知,旋转8次之后回到轴的正半轴,在这8次旋转中,点分别落在坐标象限的角平分线上或x轴或y轴上,但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数,因此,各点的“绝对坐标”可分三种情况:当Pn的n0,4,8,12,则点在x轴上,则“绝对坐标”为(2n,0) ,当Pn的n2,6,10,14,则点在y轴上,则“绝对坐标”为(0,2n) ;当Pn的n1,3,5,7,9,则点在各象限的角平分线上,则“绝对坐标”为(2n1,2n1)考向2几何类(1)ABCD1,ABCD,四边形ABCD是平行四边形,又ABBC,ABCD是菱形又ABC90,四边形ABCD为正方形,BD;如解图,连接AC,BD,第1题解图ABBC,ACBD,ABDCBD,又BDBD,ABDCBD,ADCD;(2)若EF与BC垂直,则AEEF,BFEF,四边形ABFE不是等腰直角四边形
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