PID控制LQRH控制器实例已修正错误Word格式.docx

1、MATLAB程序仿真如下：num=conv（-3*107,1 -2.4*105 1.92*1010）; %多项式乘法den=conv（1 251.3 3.948*105,1 2.4*105 1.92*1010）;g1=tf（num,den）g=g1/（-76）; %加入比例因子G=minreal（g）figure（1）;step（G）;Transfer function: 394800 s2 - 9.475e010 s + 7.58e015s4 + 2.403e005 s3 + 1.926e010 s2 + 4.92e012 s + 7.58e015图1-2 原系统阶跃响应曲线由仿真结果知，系

2、统传递函数互质，状态空间最小实现为4阶。如图1-2所示系统阶跃响应曲线可知系统稳定，超调量53%，响应时间0.045s，但是控制效果不理想。因此，需要进一步设计控制器来改善系统性能。下面对硬盘模型P进行四种控制器的设计:PID控制器、基于极点配置的状态反馈控制器、线性二次最优（LQR）控制器、控制器。2 PID控制器设计2.1 PID控制器原理为了便于理解PID控制器的原理，首先介绍一下典型PID控制器系统原理框图如图2-1所示： -图2-1 典型PID控制结构在图2-1中，系统的偏差信号为。在PID调节作用下，控制器对误差信号分别进行比例、积分、微分运算，其结果的加权和构成系统的控制信号，送

3、给被控对象加以控制。PID控制器的数学描述为： 式中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td的微分时间常数。 连续PID控制器的Laplace变换式可以写成：但为了避免纯微分运算，经常用一阶滞后环节来近似纯微分环节，即将PID控制器写成如下形式：本文采用Ziegler-Nichols公式得出PID函数来进行PID控制器的设计，从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态精度等各方面来考虑, kp , ki , kd 的作用如下:（1） 比例系数kp 的作用是加快系统的响应速度,提高系统的调节精度。kp 越大,系统的响应速度越快,系统的调节精度越高,但易产生超调,甚至会导致系统不稳定。kp 取值过小

4、,则会降低调节精度,使响应速度缓慢,从而延长调节时间,使系统静态、动态特性变坏。（2） 积分作用系数ki 的作用是消除系统的稳态误差。ki 越大,系统静态误差消除越快,但ki 过大,在响应过程的初期会产生积分饱和现象,从而引起响应过程的较大超调。若ki 过小,将使系统静态误差难以消除,影响系统的调节精度。（3） 微分作用系数kd 的作用是改善系统的动态特性,其作用主要是在响应过程中抑制偏差向任何方向的变化,对偏差变化进行提前预报。但kd 过大,会使响应过程提前制动,从而延长调节时间,而且会降低系统的抗干扰性能。22 PID控制器设计加入PID控制器之后，通过如上所述kp、ki、kd 的作用调节

5、Kp、Ti、Td参数使得闭环传递函数阶跃响应达到理想效果，MATLAB程序仿真如下：G1=tf（num,den）;G=G1/（-76）; %这一项有问题G1=-G1;Kc,b,Wc,d=margin（G1）;%取得控制对象幅值裕度Kc、相位裕度d、和交叉频率Wc、dTc=2*pi/Wc; %求取参数Kp=0.45*Kc;Ti=0.5*Tc;Td=0.5*Tc;GPID=Kp*（1+tf（1,Ti 0）+tf（Td 0,Td/20 1）;figure（2）;step（feedback（G1*GPID,1）,-,G,-）;figure（3）;bode（feedback（G1*GPID,1）,fee

6、dback（G,1）,axis（0 0.01 0 1.6） %有问题，这里%各参数取值为：Kp = 0.150*068Ti = 9.728509668515869e-004Td = 9.728509668515869e-004N=20设计控制器为：系统阶跃响应曲线如图2-2所示：图2-2 PID控制前后的阶跃响应曲线图2-3 PID控制后系统的伯德图2.3 控制器性能分析如图2-2、图2-3所示分析了PID控制前后系统动态性能和稳态性能，系统的超调量由53%降为14.2%，调节时间由0.045s降到0.00452s，动态性能明显提高。从闭环系统伯德图可以看出，系统零频幅振比M（0）=0db,所

7、以阶跃响应输入时，其稳态误差为0，另外，校正后系统的谐振峰值远小于原系统，所有超调量比较小，而频带宽度比原系统宽，所以调节时间比较短，快速性比较好，但抗干扰性能比较差。再看PID控制的扰动输入时情况。在原系统模型中：1、令，则可得到由输入到输出的传递函数为： （6）2、令，则可得到由干扰到输出的传递函数为： （7）由以上分析可知，。step（1/（1+GPID*G1）; %干扰信号的阶跃响应axis（0 0.007 -0.3 1.2）;图2-4 PID控制系统抗干扰性能曲线图2-4所示，PID控制器作用下系统对阶跃干扰信号几乎可以完全抑制，系统抗干扰性能非常好。因此，该控制器方案达到预期效果。

8、2.4 Simulink仿真link仿真 利用Simulink仿真PID控制，仿真图如下图2-5图2-5 Simulink仿真图 仿真结果如下：图2-6 阶跃响应曲线图2-7 控制信号输入 从图2-6，图2-7仿真结果可以知道，系统可以较快跟踪阶跃信号，而且控制对象的控制信号输入也在合理范围以内。3 极点配置控制器的设计3.1 极点配置设计本文中原系统传递函数是4阶SISO系统，且系统传递函数互质，因此首先把系统化为能控标准型，然后可直接进行基于状态反馈的极点配置。由对控制对象分析知道，系统的平衡实现中:g=116.1652 78.1759 0.0051 0.0005 可以看出系统有两个极点的

9、权重非常小，可以忽略它的影响，对系统分析时，系统的主要性能由主导极点决定。对系统进行降阶，可以得到系统降阶后传递函数为：系统降阶后模型为一个二阶系统。对于二阶系统，其特征多项式为，对应特征根为，对于二节系统动态特性来说，当=0.707是为比较理想，这时。基于以上分析选择两个主导极点和两个远极点，得到MATLAB程序仿真如下：Gs= sscanform（G,ctrl） %把原系统化为能控标准型A B C D=ssdata（Gs）;P=-3000-3000i,-3000+3000i,-20000,-21000; %期望极点K=acker（A,B,P）;Ac=A-B*K;num,den=ss2tf（

10、Ac,B,C,D）;Gs1=sscanform（G1,step（G,G1, %控制前后的阶跃响应subplot（1,2,1）margin（G）; %原系统伯德图subplot（1,2,2）margin（G1）; %PID控制系统伯德图图3-1 极点配置控制前后系统阶跃响应曲线图3-2 极点配置控制前后系统的伯德图3.2 极点配置控制器分析如图3-1、图3-2所示基于极点配置状态反馈控制前后系统动态性能和稳态性能，系统超调量由53%降为4%，调节时间由0.045s降到0.002s，动态性能大幅提高。从系统伯德图可以看出，系统零频幅振比M（0）=0db,所以阶跃响应输入时，其稳态误差为0，另外，校

11、正后系统的谐振峰值为0，所以没有振荡，且超调量比较小，而频带宽度比原系统宽，所以调节时间比较短，快速性比较好，但抗干扰性能比较差。3.3 Simulink仿真用simulink仿真如下：图3-3 极点配置系统结构 图3-4 极点配置系统阶跃响应曲线如图3-3、3-4所示simulink仿真与程序仿真效果一样。因此，该控制器方案比较理想。4 LQR控制器的设计4.1 LQR控制器原理线性二次型调节器问题简称LQR （Linear Quadratic Regulator）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置, 受到控制界的普遍重视。LQR 方法具有设计规范、易于工程实现以及能够获得线性反馈结构等

12、优点。但在使用该方法时, 最优控制效果取决于加权阵Q 和R 的选取, 如果Q 和R 选取不当, 则可能使求得的解不能满足实际系统的性能要求, 就更谈不上“最优”了,有时还能得出误导性的结论。设给定线性定常系统的状态方程: （1）二次性能指标函数定义为: 满足二次型目标函数J为最小（8）其中:X为n 维状态向量, U为r维输入向量, A,B分别是nn, nr 维常数矩阵, Q为正定（或半正定）实对称矩阵, R为正定厄米特或实对称矩阵。LQR（Linear Quadratic Regulator）问题表示这样一种物理概念:若系统受到外界扰动, 偏离零状态后（即到达某一初态X0）, 应施加怎样的控制使系统回到零状态附近, 并满足二次型目标函数J 为最小。此时的称为最优控制,使式（8）取得最小值的最优控制律为: （9）式中P就是Riccati方程的解, K是反馈增益矩阵。 目前确定加权矩阵Q 和R 的普遍方法是仿真试凑法, 该方法的基本原理是: