FIR数字滤波器的基本原理及设计方法Word文档下载推荐.docx

1、fir2函数设计的FIR滤波器，其滤波的频率特性由矢量f和m决定，f和m分别为滤波器的期望幅频响应的频率相量和幅值相量。Firls（）和remez（）的基本格式用于设计型和型线性相位FIR滤波器，型和型的区别是偶函数还是奇函数。freqz（）用于求数字滤波器的频率响应。并且提供了各种窗函数的函数，比如，hamming（）是海明窗函数，hanning（）是汉宁窗函数，kaiser（）是凯泽窗函数，使在设计的过程中，不用自己重新设计窗函数。1.1 窗函数法设计FIR数字滤波器设我们所要设计的FIR滤波器的传输函数是（e）,（n）是与其对应的单位脉冲响应，因此 （1-1） （1-2）如果我们能够在已

2、知的情况下，求出，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。通常情况下理想数字滤波器的单位脉冲相应是无限长的，且是非因果序列。获得有限脉冲响应滤波器的一种可能方法是对截取一段来近似代替，可是这样会改变原来的滤波器指标，出现吉布斯效应误差。窗函数法就是用被称为窗函数的有限加权序列w（n）来修正式（1）的傅里叶基数以求得要求的有限脉冲响应序列，即 （1-3）w（n）是有限长序列，当nN-1时，w（n）=0。这种方法的重点在于选择某种合适的窗函数。要求窗函数主瓣宽度尽可能窄，以获得最小的过渡带；旁瓣相对值尽可能小，以使得通带波纹小，并且阻带衰减大。下面介绍几种常用的窗函数：1.矩形窗（Rectangle W

3、indow） （3-4）其频率函数为： （3-5）2.三角形窗（Bartlett Window） （3-6） （3-7）3.汉宁（Hanning）窗，又称升余弦窗 （3-8）利用傅里叶变换得到频率函数为： （3-9）当时，所以窗函数的幅度函数为 （3-10）4.汉明（Hamming）窗，又称改进的升余弦窗 （3-11）其幅度函数为： （3-12）5.布莱克曼（Blankman）窗，又称二阶升余弦窗 （3-13） （3-14）6.凯泽（Kaiser）窗 （3-15）其中：是一个可自由选择的参数，I0（ x）是第一类修正零阶贝塞尔函数10.上述窗函数的基本参数如下表窗函数旁瓣峰值幅度/db过渡带宽

4、阻带最小衰减/db矩形窗-134/N-21三角形窗-268/N-25汉宁窗-31-44汉明窗-40-53布莱克曼窗-5712/N-74凯泽窗10/N-80窗函数法设计滤波器的步骤：1）根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应。2）根据对过渡带和阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。3）计算滤波器的单位取样响应h（n）： （3-16）式中,是前面所选择好的窗函数。4）检验技术指标是否满足要求。根据下式计算： （3-17）如果不满足要求，根据具体情况重复步骤（2）（3）（4）步，直到满足要求为止。本文以一个FIR滤波器的设计为例说明如何使用MATLAB设计数字滤波器设计实例：用窗函数

5、法设计线性相位FIR低通数字滤波器，要求通带截止频率Wp=0.4*,阻带截止频率Ws=0.5*, 通带衰减不大于3db，阻带衰减不小于40db。程序如下：Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil（8*pi/Wdel）;Wn=（0.4+0.5）*pi/2;window=hanning（N+1）;b=fir1（N,Wn/pi,window）;freqz（b,1,512）程序执行后得幅频和相频如下图所示： 图1.11.2 频率采样法设计FIR数字滤波器1.对理想滤波器的系统函数Hd（z）进行频率采样以得到系统的理想频响Hd（ejw）的等间隔采样值H（k）。H（k）实

6、际上是所要求的滤波器的单位采样响应（h（n）的离散傅里叶变换（DFT），如下试： （3-18） （3-19）为了减小H（k）的通带边缘由于抽样点的变化而引起的起伏振荡，可以增加过渡点，加宽过渡带以减小通带的起伏。每一个抽样值产生一个与sin（）/sin（）成正比，并位移（2k）/N的频率响应，而H（k）与内插函数的线性组合就是FIR滤波器的频率响应，增加一点过渡可以使阻带衰减提高到-4454dB,二点过渡衰减-6575,三点过渡衰减-8595dB.如果不能使过渡带太宽，同时要求增大阻带衰减，可以增加取样点数N，但这样会增加计算量、延时和误差。频率取样型FIR滤波器设计步骤：（1）给定理想滤波器

7、频率响应Hd（ejw）。（2）根据过渡带宽和阻带衰减确定过渡点数和h（n）的长度N。 （3-20）（3）由IFFT计算IDFT得到： （3-21）率采样法设计一个带通滤波器，满足：低阻带边缘：w1s=0.2*;低通带边缘：w1p=0.35*;高通带边缘：w2p=0.65*;高阻带边缘：w2s=0.8*。设计过渡带中的频率样本值为t1和t2，取t1=0.109021,t2=0.59417456。设计程序如下：M=40;al=（M-1）/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=zeros（1,5）,t1,t2,ones（1,7）,t2,t1,zeros（1,

8、9）,t1,t2,ones（1,7）,t2,t1,zeros（1,4）;k1=0:floor（M-1）/2）;k2=floor（M-1）/2）+1:angh=-al*（2*pi）/M*k1,al*（2*pi）/M*（M-k2）;H=Hrs.*exp（j*angh）;h=real（ifft（H,M）;freqz（h,1,512,1000）实验得幅频相频特性如下图所示： 图1.21.3等波纹最优化方法设计FIR数字滤波器在数字信号处理中, 利用数字滤波器可改变信号中所含频率分量的相对比例或滤除某些频率分量, 使其达到所需要的效果. 其中数字FIR 滤波器由于具有精确的线性相位, 且系统稳定, 所以

9、广泛应用于通信、 数字图象处理、 语音信号处理、 自适应处理、 雷达/ 声纳系统等方面. 目前, FIR 滤波器 1, 2的设计主要有窗函数设计法和频率采样设计法. 但是, 这2 种方法都不易精确控制通带边界频率Wp与阻带边界频率Ws ,所以, 在实际应用中具有一定的局限性.而以最大误差最小化准则支持的切比雪夫逼近法是一种优异的设计方法, 易于精确控制Wp与Ws.与窗函数和频率采样法比较，由于这种设计法使最大误差均匀化，所以设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使阶数最低。等波纹最佳逼近法设计的

10、数学证明复杂，已超出本科生的数学基础。所以我们略去等波纹最佳逼近法复杂的数学推导，只介绍基本思想和实现线性相位FIRDF的等波纹最佳逼近设计的MATLAB信号处理工具箱函数remez和remezord。Remez函数采用数值分析中的remez多重迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求得满足等波纹最佳逼近准则的FIRDF的单位脉冲相应h（n）,由于切比雪夫和雷米兹（remez）对解决该问题做出了贡献，所以又称之为切比雪夫逼近法或者雷米兹逼近法。第二章 设计步骤等波纹滤波器的最优化设计方法主要有2 种,第 1 种是离散最小二乘法. 它的思路是在给定的一些离散点上,使实际的幅频特性和理想幅频特性之间的误

11、差的平方和为最小. 第 2 种是最优化等波纹设计法,也称为雷米兹法或切比雪夫逼近法. 该类型滤波器幅频特性在通带和阻带上的误差峰值是均匀分布的,其误差具有等波纹特性,因而把波纹的幅度控制到最小, 或在同等指标下减小它的阶次. 第 1 种方法是连续最小的平方法的推广, 容易理解,但它的指标与滤波器没有直接关联,误差平方小的滤波器不能保证没有窄而大的波纹出现,像吉布斯效应 那样. 第 2 种方法直接控制通带波动和阻带衰减, 最具针对性,是滤波器的最优化设计方法. 因此,采用 MAT LAB信号处理工具箱提供的函数,运用最优化等波纹设计法实现数字 FIR 滤波器的设计和仿真.。完整的最优化等波纹滤波

12、器设计, 除了切比雪夫等波纹逼近公式外,还要考虑:（ 1）滤波器采样点数n 的确定.（ 2）极值数目的确定. 最优化等波纹滤波器的误差函数在给定的频率上有（ L + 2）或（ L + 3）个极值,L 为多项式的阶数. 对于某些Wp, Ws 的组合,可能得到有（ L + 3）个极值的滤波器. 此时, L = f loor （ （ n-1） / 2） .（ 3）建立频率修正的算法. 在程序中自动进行反复的迭代修正,直到达到要求的精度为止.交替定理能保证切比雪夫逼近问题的解存在并且惟一, 但它并没有说如何得到该解, 既不知 n（或L ） ,也不知极值的频率和波纹系数W. ParksMcClellan

13、提供了利用Remez 交换算法导出的迭代算法. 它假设已知滤波器的n,并且设1= 2 , 就可得到解,其中, 为最大波纹系数, 2 为阻带波动系数.和n 是相关的, n 越大,越小. 滤波器的技术指标中给出了通带波动系数 1和2 , W p , W s ,因此需要设定n. 凯泽提出逼近 n 的公式:Parks 和McClellan 算法首先猜设（ L + 2）个极值频率W i ,估计极值频率上的最大误差及其 Wi , 由这些新的频率点拟合出一个新的L 阶多项式, 重复以上过程, 直到找出最优集Wi和全局最大波纹系数1为止. 迭代结果得到多项式系数d（n） ,最后算出滤波器脉冲响应 h（n） .由于n是近似的, 1可能不等于2 . 若12 ,则增加n;若1