1、Tnn2n例2设数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4,)求证:数列an是等比数列;(1)由a1=S1=1,S2=1+a2,得a2=又3tSn(2t+3)Sn1=3t3tSn1(2t+3)Sn2=3t 得3tan(2t+3)an1=0 ,(n=2,3,)所以an是一个首项为1,公比为的等比数列.练习:已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中=1,2,3,(1) 证明数列lg(1+an)是等比数列;(2) 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求Tn及数列an的通项;答案 .(2) ,;
2、二通项的求法(1)利用等差等比的通项公式(2)累加法:例3已知数列满足,求。由条件知:分别令,代入上式得个等式累加之,即所以,(3)构造等差或等比 或例4已知数列满足求数列的通项公式;是以为首项,2为公比的等比数列。即例5已知数列中,,,求.在两边乘以得:令,则,解之得:,所以.练习:已知数列满足,且。(1)求;(2)求数列的通项公式。(1)(2)(4)利用例6若和分别表示数列和的前项和,对任意正整数,.求数列的通项公式; 2分 当 当4分1. 已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+
3、6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2) 当a1=3时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3 2设数列的前项的和()求首项与通项;()设,证明:(I),解得:所以数列是公比为4的等比数列所以:得: (其中n为正整数)(II) (5)累积法 转化为,逐商相乘.例7已
4、知数列满足,求。由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,1.已知, ,求。 。2已知数列an,满足a1=1, (n2),则an的通项 由已知,得,用此式减去已知式,得当时,即,又,将以上n个式子相乘,得(6)倒数变形:,两边取倒数后换元转化为。例8:已知数列an满足:,求数列an的通项公式。取倒数:是等差数列,a1,且an求数列an的通项公式;将条件变为:1,因此1为一个等比数列,其首项为1,公比,从而1,据此得an(n1)三数列求和1、等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式:3、错位相减法求和 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例9 求和:由题可知,设(设制错位)得 (错位
5、相减)再利用等比数列的求和公式得:。 求数列前n项的和.由题可知,的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.5、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例10 求数列的前n项和:,设将其每一项拆开再重新组合得(分组)当a1时,(分组求和)当时,6、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)(1)为等差数列,(2)例11 求数列的前n项和.设,则 例12 在数列an中,又,求数列bn的前n项的和. 数列bn的前n项和: 1已知数列的前项和为,且满足 。求数列的通项公式;(1)数列的前项和为,且满足则 ()相减得: () 又当n=1时, , 是以为首项,公比的等比数列 ()2已知数列:求证数列为等差数列,并求它的公差设,求。由条件,;故为等差数列,公差又知4
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