1、直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。二:垂线、分角线,翻转全等连。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三:边边若相等,旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,
2、就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似,和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。六:两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切)
3、,或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。七:切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,
4、距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九:面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。图中有角平分线,可向两边作垂线。角平分线平行线,等腰三角形来添。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中有中线,倍长中
5、线得全等。四边形平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。上述方法不奏效,过腰中点全等造。等积式子比例换,寻找线段很关键。斜边上面作高线,比例中项一大片。圆形半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外
6、相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图,AB/CD,BE平分ABC,CE平分BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。二、角分线上点向两边作垂线构全等如图,已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证:ADC+B=180可由C向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。三、三线合一
7、构造等腰三角形如图,AB=AC,BAC=90 ,AD为ABC的平分线,CEBE.求证:BD=2CE。延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。四、角平分线+平行线如图,ABAC, 1=2,求证:ABACBDCD。AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。由线段和差想到的辅助线截长补短法AC平分BAD,CEAB,且B+D=180,求证:AE=AD+BE。过C点作AD垂线,得到全等即可。由中点想到的辅助线一、中线把三角形面积等分如图,ABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2,求:CDF的面积。利用中线分等底和同高得面积
8、关系。二、中点联中点得中位线如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。BGE=CHE。联BD取中点联接联接,通过中位线得平行传递角度。三、倍长中线如图,已知ABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。倍长中线得到全等易得。四、RT斜边中线如图,已知梯形ABCD中,AB/DC,ACBC,ADBD,求证:AC=BD。取AB中点得RT斜边中线得到等量关系。由全等三角形想到的辅助线一、倍长过中点得线段已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。利用倍长中线做。二、截长补短如图,在四边形ABC
9、D中,BCBA,ADCD,BD平分 ,求证:A+C=180在角上截取相同的线段得到全等。三、平移变换如图,在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+ACAD+AE将ACE平移使EC与BD重合。四、旋转正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求EAF的度数将ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。由梯形想到的辅助线一、平移一腰所示,在直角梯形ABCD中,A90,ABDC,AD15,AB16,BC17. 求CD的长。利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。二、平移两腰如图,在梯形ABCD中,AD/BC,BC=90,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、
10、BC的中点,连接EF,求EF的长。利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。三、平移对角线已知:梯形ABCD中,AD/BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。四、作双高在梯形ABCD中,AD为上底,ABCD,求证:BDAC。作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。五、作中位线(1)如图,在梯形ABCD中,AD/BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF/AD联DF并延长,利用全等即得中位线。(2)在梯形ABCD中,ADBC, BAD=90,E是DC上的中点,连接AE和BE,求AEB=2CBE。在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。1已知:如图,在正方形ABCD中,E、F分别在AD、DC上,且DEDF,BMEF于M求证:MEMF 2如图,正方形ABCD,E是BC上的一点,延长AB至F使BE=BF,延长AE交CF于G。CF AG 3如图,ABCD、BEFG都是正方形,A、B、在一条直线上,连结A、G,且延长交CE的连线为H,求证:CE AH
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