高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)Word下载.doc

1、（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k（x-x0）；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：（6）法线式方程：xcos+ysin=p（其中为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则

2、tan=,tan=.6平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7两点P1（x1, y1）与P2（x2, y2）间的距离公式：|P1P2|=。8点P（x0, y0）到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1

3、x+B1y+C=0（）.10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0）。其圆心为，半径为。若点P（x0, y0）为圆上一点，则过点P的切线方程为 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0; （D2-D3）x+（E2-E3）y+（F2-F3）=0; （D3-D1）x+（E3-E1）y+（F3-F

4、1）=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：ADB=CDE。证明 见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,（2a,0），则点D坐标为（a, 0）。直线BD方程为， 直线BC方程为x+y=2a， 设直线BD和AE的斜率分别为k1, k2，则k1=-2。因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。所以直线DE斜率为因为k1

5、+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。 以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设D的方程为（x-m）2+y2=r2.设点E，F的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），则，分别代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。由韦达定理，所以|EF|2=（x1

6、-x2）2+（y1-y2）2=（x1-x2）2+3（x1-x2）2=4（x1+x2）2-4x1x2=m2-（m2-r2）=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正PQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。 假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0x1x2-1，在（1）区域里，求函数f（x,y）=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得点（x, y）所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：

7、x+y=1；BC：x+y=4.（2） f（x, y）是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a-1，所以它过顶点C时，f（x, y）最大，C点坐标为（-3，7），于是f（x, y）的最大值为3a+7. 如果-12，则l通过B（3，1）时，f（x, y）取最小值为-3a+1.6参数方程的应用。例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+（y-1）2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。 设直线OP的参数方程为（t参数）。代入已知圆的方程得t2-t?2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=

8、t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得t=2或t=-2或sin=-1.当t=2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sin=1时，轨迹方程为x=0.7与圆有关的问题。例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定AT1T2垂心 的轨迹。 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2MT2，T

9、1HMT2，所以OT2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ON?OM。设点H坐标为（x,y）。点M坐标为（5, b），则点N坐标为，将坐标代入=ON?OM，再由得在AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是和，见图10-7，求证：sin（+）是定值。 过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2?,所以。所以例10 已知O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是O的弦，试确定

10、|OD|的最大值、最小值。解 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A（cos,sin）,B（cos,-sin），由题设|AD|=|AB|=2sin，这里不妨设A在x轴上方，则（0,）.由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为（cos+2sin,sin），所以|OD|=因为，所以当时，|OD|max=+1；当时，|OD|min=例11 当m变化且m0时，求证：圆（x-2m-1）2+（y-m-1）2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。 由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+

11、1=0上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m0成立。即（-4k-3）m2+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）2=0对一切m0成立所以即当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=和x=1.三、基础训练题1已知两点A（-3,4）和B（3,2），过点P（2,-1）的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是_.2已知0,，则的取值范围是_.3三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P（x, y）在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是_.4若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是_.5若R。直线（2+）x-（1+）y-2（