线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)Word文件下载.doc

1、分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然 解答：因为 A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|2|AC|（如图所示） 例2、已知P分所成的比为，O为平面上任意一点， 求证：线段定比分点向量公式证明： P分所成比为， 例3、已知三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D点内分的比为，E在BC上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求向量的坐标（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半） 要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐

2、标减去D点的坐标就可得到向量如图所示， D点内分的比为， 设E分有向线段的比为， 由题设条件可知：例5已知、不共线，将符合下列条件的向量写成的形式：（1）点分所成的比，求；（2）点分所成的比，求. 分析：借助定比分点的概念解题。 解：（1）由，得， 即 . 故 ，（2）由上可知即 . 小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了这个与定比有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。例6、如图所示，已知直线过点和点，与轴，轴交于点和点求：点分所成的比，点的坐标设点，则可由可求得的值

3、同样方法可求点分所成的比再用定比分点坐标公式，求得解：设点，点分所成的比设点分所成的比为，同理可得点坐标是记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以本题也可以这样求点分所成的比，设，根据定比分点坐标分式得 解之在求时也要注意讨论如已知点在直线上，且，求点分所成的比（1）当点在、之间时，；（2）当点在延长线上时，.例7、如图所示，已知矩形中，点是边的中点，连结与矩形的对角线交于点，求点坐标点在上，若知道点分所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求点坐标，由题意知且，由此知，即点分所成的比四边形是矩形，是边的中点，且即点分所成的比设由，根据定比分点坐标公式得，同理点分所成的比，由此可求得点坐标是

4、，再由中点坐标公式可求得点坐标是在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具点和点坐标，也可根据和求得，当然点坐标也可根据求得，即，所以解之，例8若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围当直线与线段有交点时，这个交点分有向线段所成的比不小于0，从而得到关于的不等式，但应注意考虑端点的情况 解：当直线过点时，有，. 当直线过点时，有，. 当直线与线段的交点在、之间时，设这个交点分的比为，它的坐标为，则，. 而直线过点，则， 整理，得. 由，得，解得或. 故所求实数的取值范围为或。 （1）定比的符号是求解本题的关键应当注意，当点在线段上时，；当点在线段或的延长线上时，.

5、 切不可将之混为一谈（2）恰当地利用定比的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题例9已知的三顶点坐标分别为，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标 本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定分的比，再利用公式求解设直线交于，依题意，又因为，故，所以， 即点分的比为 设的坐标为，由定比分点公式有， 点的坐标为 求解定比分点坐标的关键是求出定比的值 求的值，除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等例10已知，且，求点、的坐标. 借助线段的定比分点式求解. 设，. 由，可得，即，. 运用定比分点公式可知 仿上可求得 ， 综上可知，欲

6、求、两点坐标为，. 对于本题欲求点的坐标时，也可以由，得到，从而由定比公点公有得，. 同理，也可以由求得点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。例11 、已知的三个顶点的坐标为，边的中点分别为，且的重心为G，求：（1）；（2）；（3）；（4）分析 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量解 ，且分别为的中点，G为的重心，重心，即（1）（2）（3）（4）本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）

7、本身有着必然的联系，因为G为的重心，AE是的中线，故三点共线，而且，即，同理故 例12.已知，求证：。设是数轴上的三点，则 是的内分点，在-1与1之间，即。例13.已知求证：设是数轴上的三点，定比分点，则定比 的外分点，则 。对于函数y=f（x）,如果能够化为，就与的形式完全相同（只须把t（x）看成），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设m0时，myn;当t（x）=0时，y=m;当t（x）0时，ym 。例14.已知二次函数f（x）满足条件：（1） f（-1）=0；（2）对一切xR，都有成立，求f（x）的解析式。本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些

8、学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：由,可设数轴上的点P1（x,0）、P（f（x）,0），,且， 则f（x）=，因为f（1）=0 ,所以,解得 1， 所以 。三、定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。1平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2 若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为（-1），则EF的长l=（0）。特别

9、地，（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；（2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立；（3）当1时，即可得到梯形的中位线公式。设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得由（1）（2）可得。依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：命题1：设梯形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为，则有（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为=仍成立。）2、立体几何中的定比分点：命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为，则有： 。特别地，当1

10、时，。将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为h和h，则由截面性质定理可得：从而有： （1） （2）, 由（1） （2）得即：依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：命题2:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为，则有命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为，则有注：以上三个公式，对于圆台也同样成立上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。

11、3数列中的定比分点：命题3：设是等差数列，其中ap、am、an，满足则。ap=a1+（p-1）d ， am=a1+（m-1）d ， an=a1+（n-1）d（其中a1、d分别是等差数列的首项与公差）将ap、am、an 代入 中可得 命题3:设是等差数列，n是数列的前n项和，其中p、m、n满足（），则。因为 =那么S=An2+Bn，即，所以数列是等差数列，由命题3，即有。高二数学讲义第十四讲（130802）课后作业（本试卷共14题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一、选择填空题（每小题5分,共12个小题,共60分）1、已知P点分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为（ ） AB CD2、设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为，则（ ） A1 B10 C01 D1 3、连结点A（2，3）、B（7，2）得线段AB，再延长到点C（x，y），使，则点C的坐标是（ ） A（12，7） B（12，7） C（12，7） D（12，7） 4、已知点A（1，2）、B（4，5），点C（2，3）分线段AB成两部分，其中，则的值是（ ） AB CD5、如果ABC的顶点坐标分别是A（4，6）、B（2，1）、C（4，1），则重心的坐标是（ ） A（2，1）B（2，2） C（1，2）D（2，4） 6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数，则点B分的比为（ ） A1