1、分析 双曲线的标准方程有两种形式：（，）或（，），可以讨论解决。也可以应用下面的方法解决。解设双曲线方程为（）。因为所求双曲线经过点,，所以解得，。故所求双曲线方程为。说明求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为（），这样可以简化运算。二 等轴双曲线例等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与直线交于两点、，且。求此等轴双曲线的方程。分析根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程（），求出即可。解设等轴双曲线方程为（）。由解得交点、的坐标分别为、。因为，所以。故所求双曲线方程为。说明等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质
2、，比如：离心率，渐近线方程为且互相垂直等等。三 共焦点双曲线例已知过点，且与双曲线有共同焦点的双曲线的标准方程。分析根据双曲线焦点与、的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为（16），求出即可。解 设双曲线方程为（16），将代入，得。说明与双曲线共焦点的双曲线方程可设为（）。根据椭圆与双曲线的关系，与椭圆共焦点的双曲线方程可设为（），请注意它们的区别。四 共渐近线双曲线例4 求经过点，且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程。分析因为双曲线的两条渐近线方程为双曲线，因此与它共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线（）。解设双曲线方程为（），因为双曲线经过点，所以。故所求双曲线方程为，即。说明求共渐近线的双曲线
3、方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程，使解题更合理。另外，以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。显然共轭双曲线有相同的渐近线，因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。五 同离心率的双曲线例5 求经过点，且与双曲线的离心率相同的双曲线的标准方程。分析 因为一条双曲线和双曲线（0，0）离心率相同，那么它的焦点可能在轴上，也可能在轴上。若焦点在轴上，它的方程可设为（0，0，）；若焦点在轴上，它的方程可设为（0，0，）。解 （1）当所求双曲线的焦点在轴上时，它的方程可设为（），将代入，得。此时所求双曲线的标准方程为。（）当所求双曲线的焦点在轴上时，它的方程可设为（），将代入，得（舍去）。故所求双曲线的标准方程为。说明已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似，请你比较它们的区别。六 已知双曲线渐近线的双曲线例求一条渐近线方程为，一个焦点是的双曲线方程。分析由，得，因此借助与共渐近线方程问题的方法，设所求双曲线方程为（），求出即可。解根据题意，可设所求双曲线方程为（）。又因为焦点在轴上，所以。因为，所以16，解得。说明渐近线方程为或的双曲线方程可设为（），然后确定的值。因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的，因此在解题时，一定要认真审题，弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”，解决问题。
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