高中数学平面解析几何初步经典例题2.docx

1、高中数学平面解析几何初步经典例题2高中数学平面解析几何初步经典例题 直线和圆的方程一、知识导学1两点间的距离公式:不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有22d=|AB|=(x1 x2) (y1 y2)，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2x1|或|AB|=|y2-y1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以 x A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点

2、公式是 y x1 x2 x 2=1，此时中点坐标公式是 . y y2 y 1 2 x1 x21 .当P点为AB的中点时，y1 y21 3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角之间的关系是k=tan.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种k2 -1时，5两条直线的夹角。当两直线的斜率k1,k2都存在且k1tan=k2 k1，1 k1k2当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的1 区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线

3、的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l1y k1x b1， l2y k2x b2，有以下结论： l1l2 k1=k2，且12l1l2 k1k2= -1（2）对于直线l1A1x B1y C1 0，l2 A2x B2y C2 0，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：l1l2 A1B1C=1 A2B2C2l1l2 A1A2+B1B2 = 0l1与l2相交 A1B1 A2B2A1B1C1= A2B2C2l1与l2重合 7点到直线的距离公式.（1）已知一点P（x0,y0）及一条直线l：Ax By C 0

4、，则点P到直线l的距离d=|Ax0 By0 C|A B22；（2）两平行直线l1: Ax By C1 0， l2: Ax By C2 0之间的距离d=|C1 C2|A B22.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；22（2）圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D E 4F0），圆心坐标DED2 E2 4F为（-，-），半径为r=. 2222 二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：Ax By C 0；圆：x

5、2 y2 Dx Ey F 0. Ax By C 0判别式消元 一元二次方程 222 b 4ac x y Dx Ey F 0 0 相交 0 相切 0 相离 （2）方法二 直线: Ax By C 0；圆：(x a)2 (y b)2 r2，圆心（a，b）到直线的距离为 d=|Aa Bb C|A2 B2 d r 相离 d r 相切 d r 相交 2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O1O2|r1+r2 两圆外离；|O1O2|=r1+r2 两圆外切；| r1-r2|O1O2|r1+r2 两圆相交；| O1O2 |=|

6、r1-r2| 两圆内切；0| O1O2| r1-r2| 两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:xy23 1,又过P(2,3), 1,求得a=5 ababxy 1的条件是:a0且b0,本题忽略了a b 0这一情ab3 03 , 2 02 直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 形. 正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:k 直线方程为y=3x 23x . 2综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求

7、动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3x (x 1) (y 3),化简3x=x-2x+1+y-6y+9 . 2222当x0时得x-5x+y-6y+10=0 . 223当x0时得x+ x+y-6y+10=0 . 错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 52211232 2(x- )+(y-3) 和 (x+(y-3)= - 2424两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.5221122 2正解： 接前面的过程,方程化为(x-+(y-3)= 方程化为(x+ )+(y-3)= -2

8、42352212由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x- )+(y-3)= 424(x0)2222例3m是什么数时，关于x,y的方程（2m+m-1）x+（m-m+2）y+m+2=0的图象表示一个圆？22错解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C0，222得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，22当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆22错因：A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：FA=C00.A正解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C0，2

9、22得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，22(1) 当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去.22221(2) 当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y=原方程的图形表示圆.142222例4自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆22x+y-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，22已知圆

10、方程即(x-2)+(y-2)1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1 因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r12k 2 3k 32 5k 52 1 k 1k 1 即2整理得12k-25k+120解得k44L的方程为y+3(x+3) 33即4x-3y+30 因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30. 错因：漏解正解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)， 于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，22已知圆方程即(x-2)+(y-2)1，圆心O的坐标为(2，2)

11、，半径r1 因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r12k 2 3k 32 5k 52 1 k 1k 1 即2整理得12k-25k+120解得k43或k 3443L的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。34即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线x 2y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：x y 2x 4y 1 x 2y 4 022即：x y 2 x 2 2 y 1 4 022（1）因为圆过原点，所以1 4

12、0，即 故所求圆的方程为：x y 221477x y 0. 422（2） 将圆系方程化为标准式，有：2 5 2 4 2 x y 2 2 4 5 5 当其半径最小时，圆的面积最小，此时 222为所求. 524 8 4 故满足条件的圆的方程是 x y .5 5 5 点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6（06年辽宁理科）已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)（x1x20）是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB满足 .设圆C的方程

13、为x y (x1 x2)x (y1 y2)y 0 （1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线x 2y 0的距离的最小值为2222时，求p的值. 5解：（1）证明 OA OBOA OB，（OA OB）（OA OB）， 整理得：OA OB0 x1x2y1y20设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MA MB0 即 (x x1)(x x2)(y y1)(y y2)0 整理得：x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0 故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（x,y），则22x1 x2 x 2 y y1 y2 2 y1 2px1，y2 2px2(p 0)22yy2x1x2 124p又x1x2y1y20 ，x1x2y1y222yy2y1y2 124px1x20，y1y20 y1y24p222