函数的单调性和奇偶性专题Word文件下载.doc

1、设x1，x2是区间上的任意实数，且x1x2，则 0x1x21 x1-x20，0x1x21 0x1x21 故，即f（x1）-f（x2）0 x1x2时有f（x1）f（x2） 上是减函数.可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； （1）y=x2-3|x|+2； （2）解：（1）由图象对称性，画出草图f（x）在上递减，在上递减，在上递增.（2） 图象为 f（x）在上递增.【变式1】求下列函数的单调区间：（1）y=|x+1|； （2）（3）.（1）画出函数图象， 函数的

2、减区间为，函数的增区间为（-1，+）；（2）定义域为， 其中u=2x-1为增函数，在（-，0）与（0，+）为减函数， 则上为减函数；（3）定义域为（-，0）（0，+），单调增区间为：（-，0），单调减区间为（0，+）.1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用（比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值） 3. 已知函数f（x）在（0，+）

3、上是减函数，比较f（a2-a+1）与的大小. 又f（x）在（0，+）上是减函数，则.4. 求下列函数值域：（1）； 1）x5，10； 2）x（-3，-2）（-2，1）；（2）y=x2-2x+3； 1）x-1，1； 2）x-2，2.（1）可应用函数的单调性；（2）数形结合.（1）2个单位，再上移2个单位得到，如图 1）f（x）在5，10上单增，； 2）；（2）画出草图 1）yf（1），f（-1）即2，6； 2）.【变式1】已知函数.（1）判断函数f（x）的单调区间；（2）当x1，3时，求函数f（x）的值域.这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式

4、.，第二问即是利用单调性求函数值域.（1）上单调递增，在上单调递增； （2）故函数f（x）在1，3上单调递增x=1时f（x）有最小值，f（1）=-2x=3时f（x）有最大值x1，3时f（x）的值域为.5. 已知二次函数f（x）=x2-（a-1）x+5在区间上是增函数，求：（1）实数a的取值范围；（2）f（2）的取值范围. （1）对称轴是决定f（x）单调性的关键，联系图象可知只需； （2）f（2）=22-2（a-1）+5=-2a+11又a2，-2a-4f（2）=-2a+11-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）f（x）=x2-4|x|+3 （4）

5、f（x）=|x+3|-|x-3| （5）（6） （7）根据函数的奇偶性的定义进行判断.（1）f（x）的定义域为，不关于原点对称，因此f（x）为非奇非偶函数；（2）x-10，f（x）定义域不关于原点对称，f（x）为非奇非偶函数；（3）对任意xR，都有-xR，且f（-x）=x2-4|x|+3=f（x），则f（x）=x2-4|x|+3为偶函数 ；（4）xR，f（-x）=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f（x），f（x）为奇函数；（5） ，f（x）为奇函数；（6）xR，f（x）=-x|x|+x f（-x）=-（-x）|-x|+（-x）=x|x|-x=-f（x），f（x）为奇函数；

6、（7），f（x）为奇函数.【变式1】判断下列函数的奇偶性： （2）f（x）=|x+1|-|x-1|； （3）f（x）=x2+x+1；（4）.利用函数奇偶性的定义进行判断.（1）；（2）f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=-（|x+1|-|x-1|）=-f（x） f（x）为奇函数；（3）f（-x）=（-x）2+（-x）+1=x2-x+1 f（-x）-f（x）且f（-x）f（x） f（x）为非奇非偶函数；（4）任取x0则-x0，f（-x）=（-x）2+2（-x）-1=x2-2x-1=-（-x2+2x+1）=-f（x） 任取x0，则-x0 f（-x）=-（-x）2+2（-x）+1=-x2-2x+

7、1=-（x2+2x-1）=-f（x） x=0时，f（0）=-f（0） xR时，f（-x）=-f（x） f（x）为奇函数.【变式2】已知f（x），g（x）均为奇函数，且定义域相同，求证：f（x）+g（x）为奇函数，f（x）g（x）为偶函数.设F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）g（x）则 F（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-f（x）+g（x）=-F（x） G（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）-g（x）=f（x）g（x）=G（x） f（x）+g（x）为奇函数，f（x）类型五、函数奇偶性的应用（求值，求解析式，与单调性结合） 7.已知f（x）=x5+ax3

8、-bx-8，且f（-2）=10，求f（2）. 法一：f（-2）=（-2）5+（-2）3a-（-2）b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f（2）=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g（x）=f（x）+8易证g（x）为奇函数g（-2）=-g（2） f（-2）+8=-f（2）-8f（2）=-f（-2）-16=-10-16=-26.8. f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=x2-x，求当x0时，f（x）的解析式，并画出函数图象. 奇函数图象关于原点对称， x0时，-y=（-x）2-（-x）即y=-x2-x又f（

9、0）=0，如图9. 设定义在-3，3上的偶函数f（x）在0，3上是单调递增，当f（a-1）f（a）时，求a的取值范围. f（a-1）f（a） f（|a-1|）f（|a|）而|a-1|，|a|0，3.类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间的图象与f（x）的图象重合， 设ab0，给出下列不等式，其中成立的是_.f（b）-f（-a）g（a）-g（-b）； f（b）-f（-a）g（a）-g（-b）；f（a）-f（-b）g（b）-g（-a）； f（a）-f（-b）g（b）-g（-a）.答案：.11. 求下列函数的值域：（1） （2） （3）（1）中函数为二次函数开

10、方，可先求出二次函数值域；（2）由单调性求值域，此题也可换元解决；（3）单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.（2）经观察知，；（3）令.12. 已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1. （1）若函数f（x）在区间0，2上是单调的，求实数a的取值范围；（2）当x-1，1时，求函数f（x）的最小值g（a），并画出最小值函数y=g（a）的图象.（1）f（x）=（x-a）2-1 a0或a2（2）1当a-1时，如图1，g（a）=f（-1）=a2+2a 2当-1a1时，如图2，g（a）=f（a）=-1 3当a1时，如图3，g（a）=f（1）=a2-2a ，

11、如图13. 已知函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，f（2）=1，且定义域上任意x、y都满足f（xy）=f（x）+f（y），解不等式：f（x）+f（x-2）3. 令x=2，y=2，f（22）=f（2）+f（2）=2 f（4）=2再令x=4，y=2，f（42）=f（4）+f（2）=2+1=3 f（8）=3f（x）+f（x-2）3可转化为：fx（x-2）f（8）14. 判断函数上的单调性，并证明. 任取0x1x2， 0x1x2，x1-x20，x1x20 （1）当时 0x1x21，x1x2-10 f（x1）-f（x2）0即f（x1）f（x2） 上是减函数. （2）当x1，x2（1，+）时， 上是增函数.难点：x1x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f（x）的奇偶性，